THE TEXT IS FLY WITHIN THE BOOK ONLY TEXT IS CROSS IN THE BOOK CAENEGIE INSTITUTE OF TECHNOLOGY THE LIBRARY (EUVRES DE HENRI POINCARE PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS Quai des Grands-Augustins, 55. 140740 (EUVRES DE HENRI POINCARE PUBLIEES SOUS LES AUSPICES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES PAR LA SECTION DE GEOMETR1E TOME VIII PUBLIC AVEC LA COLLABORATION DE PIERRE SEM1ROT DIRECTEUR DE I/OBSERVATOIRE DE L'UNIVERSITlS DE BORDEAUX PARIS GAUTHIER-VILLARS, ED1TEUR LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ECOLE POLYTECHNIQUE Quai des Grands-Augustins, 55 1952 Copyright by Gauthier-Villars, ig5a. Tousdroits de traduction, de reproduction et d'adaptation reserve's pour tous pays. MECANIQUE CELESTE ET ASTRONOMIE ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES FAITI P»n HEMI POlNCARfi. Acta Mathematica, t. 38, p. no, n4-u5 (1921). XX. — DSveloppemexit de la Fonction, perturbatrice [120, 168, 173, 196, 206, 207, 209, 278]. Jo me suis occuprt do la Ibnclion perlurbalrice a plusieurs points de vue difl (fronts. J'ai d'abord cJierchti la valour approckgce des coefficients des termes de rang ir&s <Slcv<5. M. Flamme avail d^ja employ^ pour cet objet la methode de M. Darboux sur les fonctions de u*6s grands nombres. Mais comme cette inotliodc sous sa forme primitive ne s'appliquait qu'aux fonctions d'uno seule variable, M. Flamme devait done decomposer cliaque terme en une somme de produils, ou cliacun des factcurs ne dcSpendait quo d'une seule anomaliu moyenne. J'ai pr<5fer<5 considtfrer directement la fonction comine dependant des deux anomalies moycnnes. Des proct5d£s analogues sont encore, comme jel'ai montrd, applicables dans ce cas. Seulement ils exigent une discussion; j'ai donn^les principes qui doivent diriger cette discussion etj'en ai fait Tappli- cation dans un cas simple [278]. On peut aussi consid&rer chaque coefficient comme fonction des excentri- H. P. — Viir. 2 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES, cites el des inclinaisons, etudier les divers modes de developpcment do cos fonctions el cliercher les conditions de leur convergence. Los conditions auxquelles j 'arrive [209] sent relativement simples. On pent enfin cliercher s'il y a des relations enlre les divers coefficients. J'en ai trouv6 un certain nombre [196, 206, 207]. Dans toutes ces recherches, je me snis servi des relations de cos coefficients avec les periodes de certaines integrates doubles. XXII. — Astronomie, Questions diverses [31, 43, 58, 93, 114, 152, 195, 202, 213, 217, 281]. On a vu plus haul quel role jouent en Astronomic les series trigono- metriques. J'ai done an point de vue de ces applications &l& ameiu* pour contribuer a la solution de cette question a (Hudier les conditions de convergence des series trigonom^triques [43, 93]. J'ai reconnu ainsi deux fails principaux : i° Si une pareille s&rie est absolument convergente pour certaines valeurs du temps, elle 1'est ^lernelleoient; il n'en est plus de m£me quand la conver- gence n'est plus absolue; 2° Une mtime fonction ne peut pas £tre repr<5sent<5e par deux series diifiSrcnlos absolument convergentes. Je n'ai pu r<5soudre, de facon a me mettre a 1'abri de toute objection, la question de la convergence des series particuli&res de M. Lindstedt; cepeudanl, j'ai tout lieu de penser que ces series ne convergent pas absolument, mais que, enordonnantconvenablementles termes, on peutles rendre semi-convergentes, La convergence pourrait alors nc subsister que pendant un inlorvalle do lomps On croit d'ordinaire qu'une fonction repr6sent<5e par une s6rio trigono- m^.triqne absolument convergente ne peut croitro an dela de toute lirnite. G'ost m^me cette croyance qui sert de fondement aux demonstrations anciennes de la stability du systeme solaire et qui, depuis, a conduit les astronomes a fairc tant d'eflforts pour faire rentrer le temps sous les signes sinus et cosinus, Getto croyance est erroiwSe; j'ai montre [31, 93] qu'une pareille fonction devient aussi grande que Ton veut si la convergence n'est pas uniforme. Mais il y a deux manures de croitre au dela de toute limite : une fonction pent « tendre vers ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 3 Tiiilini ». 11 arrive alors qu'elle finil par depasser une quanlile' quelcoiique, M grande quVlle soil, pour reslcr ciisuile conslnnimenL superieure a celte quantite. Une Ibnclioii pcul encore subir une infinite d'oscillations success ives, de iacon quo 1'tmiplitude des oscillations croisse indefmhnent. J'ai raonlre [58] que les deux cas peu\ent se presenter, en ce qui coiicerne la somrne d'uiie s^rie pure- meiit irigonomgtrique. En resiling, quaiid meme on arriverait a representer les coordonne'es des astres par des series trigonom^triques convergentes, on n'aurait pas deiiionlre' la sLabilile du sysLemc solaire. J'ai eiisuile [202] ^tudie des proc^de"s destines a augiiienter la con\ergence de certaines series trigonoine'triques dont divers astroiiomes, et en particulier M. Gyld^n, avaient fait usage dans les quadratures mecaniques. Je revicndrai plus loin sur le iravail que j'ai consacre aux marees [195] el qui inte'ressc e'galemen.l 1' Astronomic . Lc calcul des perturbations des cometes par les quadratures me'caniques clevient particulierement p6nible quand la comete passe tres pres de Fastre iroublanl parce qu'a ce moment la distance des deux corps varie ires rapide- meiit. J'ai indiqu^ [213] comment un emploi judicieux des integrates elliptiques pouvait faciliter ce calcul. J'ai public aussi un article [217] sur le role des observations du pendule en ge'ode'sie et j'ai montre comment les seules observations pendulaires, si elles e*taient parfaites et completes, pourraient suffire pour de'terminer la forme dc la Terre. Enfin dans la Preface que j'ai e'crite pour les legons de Tisserand sur la determination des Orbites, j'ai compare les diverses me'thodes en usage et j'ai montre" qu'une orbite parabolique pourrait se determiner a 1'aide de trois observations quelconques, par des formules ou n'entrent que des fonctions rationnelles . PREMIfiRE PARTIE. — FONCTION PERTURBATRICE ET PfiRIODES DES INTfiGRALES DOUBLES. SLIR LE DEVELOPPEMENT APPROCHE OE LA FONCTION PERTURBATRICE Cornptes rendus de V Academic des Sciences, t. 112, p. 269-270 (2 f6vrier 1891). II arrive souvent que, les moyens raonvemonts 6tant presque commensurables, certains termes de la fonction perturbatrice acqui&renl, malgr£ leur rang tflevtf, une importance considerable par suite de la presence de petits diviseurs. II pent 6tre nt^cessaire de les calculer sans connaitre les termes qui prudent; mais le plus souvent on n'a hnsoin que d'uno valeur approch^e, parce qu'il ne s'agit que de reconnaitre si res tPrmes sont n^gligeables. Le calcul do ces valeurs approch^es a d£ja, ^ plusieurs reprises, occupe les g^om^tres ; le meilleur et lo plus complet, des travaux publics dans cet ordre d'idees est une Tli^sc de M. Flammc,, ou cet astronome prend pour point de depart la m^thode.do M. Darboux snr les fonctions de tr^s grands nombres. J'ai cru devoir revenir sur cette question pour la raison suivante : M. Flamme commence par d^velopper, par les proc^d^s ordinaires, la fonction perturba- trice en une somme de termes dont chacun est le produit de deux facteurs, le 6 DEVELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE. premier dependant seulcment dc la longitude de la premiere plan&lc, el l<l second de la longitude de la seconde plan&te. C'esL a cos deux facleurs qu'il applique la m&hode de M. Darboux. J'ai pens<3 qu'il pouvait y avoir interest a £viter ce developpement pr^liminaire et a appliqiior directemenl COUP methods a la fonction perturba trice elle-meme. Mais pour cela il faut rendre la methode de M. Darboux applicable aux fonctions de deux variables, ce qui pent se faire sans rien changer aux principrs sur lesquels elle est fondle. Voici comment j'ai op6r£. Soient I et V les deux anomalies moyenncs, v (fct ul les deux anomalies excentriques, R la fonction pertnrbatrice a dtfvelopper. Soit R= Je me propose de calculer la valeur approch^e de Ami/na en supposant ^ ;?z2 = en H- d^ ou 11 est un entier tr^s grand, a, b, c, d des enliers finis, a et c, pr<nui(»rs entre eux. Par exemple, pour la grande in^galit^ de Pallas, on prendra n = 2, ^=i, c— — I, d = o, n = 8, cl'ou 77^1 = i7) /n2=8. Posons maintenant x = eu \f=i, y = eu' •-*, Soit de plus rint«5grale 6tant prise, en regardant z comme une constanie, le long <lu cercle [ 1 1 = i , il viendra Nous n'avons done plus a (5tudier qn'une fonction d'une seule variable. a laquelle la methode de M. Darboux est directement applicable. On sail que tout depend de la valeur et de la nature des points singuliers de *(*). D^VELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 7 Or, pour trouver les points singuliers de *(*), il suffit d'exprimer que s a une valeur Lelle que deux des points singuliers de F(*, t) consid<3r£e comme fonciion de t viennenl a se confondre. Toutes les valeurs de z ainsi obtenues ne conviennent pas a la question et une discussion est n^cessaire. On trouve ainsi que les points singuliers de 9(z) sont de deux sortes. Nous avons d'abord les quatre points x = -c ou -i y = T' ou , > en appelant sin cp et sin 9' les excentricit^s, et posant s 6tant, d'autre part, dgfini en fonction de x et de y par la relation a sin cp / 1 \ <-' sin cp' / \ \ Nous avons en second lieu les points d^finis de la mani&re suivante : Soit A le carr£ de la distance des deux plan&tes; nous aurons les valeurs de z tiroes des Equations or ces Equations peuvent &tre remplac6es par les suivantes : (3) P = o5 Q = o, P et Q gtant deux polynomes entiers en x et y, le premier du 6e ordre, le second du 7e; quant a z, il est toujours d&fini en fonction de x et y par la relation (i). Si Ton £limine y entre les deux Equations (3), on est amen£ & une Equation alg^brique en x du 24° degr£. Ce degr£ 6lev6 cr^e une premiere difficult^. Heureusement on pourra se contenter dans le calcul des racines de cette Equation d'une grossi&re approxi- mation, et la petitesse des excenlricit^s et des inclinaisons facilitera ce calcuL Si Ton regarde les excentricit^s et les inclinaisons comme des infmiment petits, le degr6 s'abaisse a 12; il est done encore tr&s £lev6; mais il s'abaisse beaucoup si Tinclinaison est nulle, de sorte qu'on pent entrevoir qu'en combi- nant les r^sultats obtenus par cette m^thode dans le cas d'une inclinaison nulle, avec les considerations d^velopp6es par M. Tisserand dans le Cha- 8 DEVELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE. pitre XXVIII du Tome I de sa Mecanique celeste, on poiirrn arriver a un precede reellement pratique. Supposons done Pinclinaison nulle; si les cxcenlricites sonl fmie,s, Pequalion s'abaisse au qualrifeme degre; si les deux excentricittfs son!, Ires pcliles el tie meme ordre, ou mfiine si Pune d'ellos soulemenl est Irfts polilo, ellr s'abaisse au troisi&me degre; si enfin les deux encentricites sont trtjs petiles (Pune mani^re absolue ct Pune tr£s polite par rapport a Faiilrc, tsllc s'abaissc an deuxidnie degre. Une seconde difficult^ provient de la n(5cessit(^ d'une discussion pour reeon- naitre quel est de ces 28 points singuliers celui qui r^pond a la question. J'ai fait cette discussion dans quelques cas particuliers s'tfcartant pen do ccux <[iii peuvent are realises en Astronomic et j'ai trouv(5 que c'<5tait un des 3.4 poinls dtSfinis par les Equations (3) qu'il fallait prendre. Soit done £0 le point singulier qui convient a la question; et soient £0, a?0, ;)'„ les valeurs correspondantes de /, de x et de y. Si ce point ^0 est un de ceux qui satisfont aux equations (2) et (3), la valeur approchtfc de Amiwa s('ra a la condition, bien entendu, que dans -^- on remplace z et I par JSQ el. /0; ou bien encore x ety par x$ etyo s^ l'on pr^ffere exprimer -T-J en fonction do c<»s deux variables /^cela est d'ailleurs de beaucoup preferable, car ^- ost unc fonction rationnelle de 5? et de y J • On trouverait une expression analogue dans le cas ou le point singulier convenable serait un des quatre poinls de la premiere sorle. La m6me methode fournirait sans peine des expressions plus approdx<*os quo Texpression (4), ou Perreur est de Pordre de II y a beaucoup a fa ire pour faciliter et rendre reellemenl pratique la reso- lution de liquation alg^brique & laquelle 011 est conduit ct la discussion qui doit suivre. Je n'ai fait, dans le M^moire qui sera bientot public, <[uo poser les principes sur lesquels cette discussion doit reposer et je ne les ai appliques que dans quelques cas particuliers; mais il me semble que Timportance du sujet devrait tenter les cherclieurs et les engager a computer les rcSsnltals quo DgVELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 9 j'ai obienus. Et, en effet, je n'ai aborde ce travail que dans un but tr&s special et je me suis arr£le d(\s qu'il a (Ht5 atteinl. Dans lo conrs do ces recherclies, j'ai ele conduil A la romarqne suivanlo : Soienl r el /•' los deux rayons voclenrs, II Tangle qu'ils font enlre oux ; la fonclioii perlurbalrice de la premiere plan&te sera et cellc de la soconde i r cos H "T^"*""""7^"* La difference sera n _ r cos ^ r' cos ^ "~ r't ^2 s^ . r cos H r cos H . , , , . On sait qne ^ — et — ne contiennenL pas de lermes seculaires propre- menl dits el qu'on pent (5crire, par exemple. rcosH v1 A cos, -pr- = 2^ A'^ "«» sin ( r' cos H S •A-//7JWZ-, et BOT^ sonl nuls pour 7ni=m2=o; mais si les mojens mouvemenls sont commensurables, si par exemple ( 5 ) nil 11 H- ;?i2 n' = o, 1'expression mil-\-m$ll devienL iiid(5pendanle du temps et le terme corres- pondant devient accidentellement secuhtire. J1ai remarqu(5 que si Ton clonne anx grands axes des valeurs telles que la relation (5) ait lieu, A/77l7?73 devient egal a BOTl/Wl, de sorte que la difference D, qui ne contient dc^ja pas de termes seculaires proprement dits, ne pent pas contenir non plus de termes accidentellement seculaires. La verification est Irfcs facile. H. P. - VIII. SUR LE DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE Bulletin astronomique, t. 14, p. 449-466 (dficembre 1897)- Je me propose d'6tudier les propri<H£s du d^veloppemenl de la parlie priuri- pale de la fonction perturbatrice dans le cas oft les excentricil&s sont nullcs cl les inclinaisons notables. Solent a et ar les rayons des deux orbites, qui.d'apr&s noire Irypolh&so soul. toutes deux circulates; soient I et l{ les longitudes des deux astres; soil eniin J Pinclinaison mutuelle des plans des deux orbites. Nous compterons les longitudes / et l! a partir de la ligne des noeuds. Dans ces conditions, le carr<3 de la distance des deux astres a pour expression a- 4- a''2 — 2 aa'(cos I cos I' -f- sin / sin lf cos J ), Si nous posons ayaatf'v^'i, y.- et'^i^ d'ou - - J ' « cos I' 2 \/-* DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. II Cette expression deviendra a2-|_ a'*— — [(#H-#-i)(y -f-j,'-!) — COSJ(^? — ^-1)(7— JT"1)]? cetle expression que j'appellerai dtSsormais F(#, y) est un polynome entier en i i *'*'-v'.r Consid^rons un polynome entier eii x, — » y, ~ dont tons les termes sont evidemment de la forme ou a et b sont des entiers positifs ou n^gatifs. Je conviendrai de dire que ce polynome est de degr£ m si, dans tous ses termes, chacun des exposants a et b est au plus £gal a m en valeur absolue. C'est dans ce sens qu'il faudra entendre d<5sormais, sauf avis contraire, le mot polynome de degre m. A ce compte, F(#5 y) est un polynome de degrg i . II est clair d'abord que si P est un polynome de degrg m^ il en sera de m&me de dP dP On voit ais&oienl ensuite qu'un polynome de degre5 m contient (2m-l-i)a coefficients arbitraires ; done Lous les polynomes de degr6 m peuvent s'expri- mer lin^airement a 1'aide de (2m. H- i )2 d'entre eux. Mais on doit remarquer que F(a?, y) pr^sente une double sym^trie : i° II ne change pas quand on permute x ety; 2° II ne change pas quand on change x en — ety eii - • Un polynome de degr6 m qui pr^sente cette double sym^trie ne contient plus que (m -f- 1 )2 coefficients arbitraires. En efiet, ^m'2 de ses coefficients sont tSgaux 4^454^ sont ^gaux 232; le terme tout connu seul ne doit 6tre 6gal a aucun autre coefficient. II y a done __ coefficients distincts. Un polynome de degrg i contient done 9 coefficients arbitraires; et 4 seule- T2 DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. ment d'enire cux sont distincis si le poljnome pnSsentG la doublu s>ni<UnV deF. Mais F ne depend quo dc irois ok'moiils a, a* ol ,F ; il v » <lonr, <'nlrc« !<>s 4 coefficients de F une relation qui no jonera d'aillours niicun rrtlr dans 1'analyse qui va suivre. II s'agit de d^velopper la parlie principale de la fonciion perlurbalrico qiii csl e^alo a 4= suivant les cosimis et les sinus des muliiplos des donx 0 V/F / et /; ou, ce qui revient au mtoc, suivant les puissances do eW'^i, e1'^1. D'aprtis la formule de Fourier, le coefficient de ou a et [3 sont des entiers positifs ou mSgatifs, sera reprcscnte par double Immigration, tanL par rapporl a / que par rapport u lf, *loil s'ollbo- les limites o et 27:. Exprim^e a 1'aide des variables' cette 6galit^ devient / N (I) et elle doit dire prise le long d'un chemin imaginaire, les variables x H, d(5crivant chacune dans lenr plan le cercle de rayon i, de facou quo Nous sommes ainsi conduits a 6ludier 1'int^gralc double (i) ou, plus tfononi lenient, I'inteSgrale double AC 3 — /r tftody^* prise le long des deux cercles | # | = i , |y | = i . Les nombres a et (3 sont des entiers positifs ou n(2gatifs et s esl la moili<» d\m entier impair negatif, Les int^grales A(a, (3, s) sont des fonctions transccndantcs des coefficients DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 1 3 du polynome F el, par consequent, des deux grands axes a et a' el de Fincli- naison J. Mais, comme nous allons le voir, toules ces iraiisceiidaiiles ne sont pas distincles el il y a entre elles des relations de recurrence que nous allons (Hudier. Je commence par observer qu'a cause de la symelrie du polynome F, on a Gonsiderons maiiitenanl une integrate de la forme /_,_ dx dy HF' -¥T ' ou H est un polynome de degre //z, au sens donne plus haul a ce mot. Les divers termes de H sont de la forme ou les exposants a et (3 sonl au plus egaux a in en valeur absolue. L7 integrate elle-m6me est done une combinaison line'aire des transcendaiiles A(«, (3, *), ou Si Ton demonlre qu'une pareille integrate est nulle, on aura une relation line'aire entre ces transcendantes. Voici comment on pent obtenir de semblables relations. Soit P un polynome quelconque en x, y, - el ~; envisageons Fintegrale t/ /rd/n^\ JJ dx\ y ) je dis que cetie integrate osl nulle. Si, en effet, nous inlegrons d'abord par rapport a x, Fint(3grale indefmie est et comme cette expression reprend la meme valeur quand la variable x a docrit le cercle | x | = i tout entier, Tintegrale d^finie est nulle. Pour la m6me raison, Fint^grale l4 DEVELOFPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. oil Q esi ua polynome quelconque, cst nullo tfgalemenl. Si done uu a ^- d*\ y ou, ce qui revient an mtoie, („ •.- on a ura (4; Parmi les relations do la forme (4), nous dislinguerous cellos qui .soul, synw- triques; nous appelleroiis ainsi cellos ou le polynome H prtfsculura la uu>nin double sym^trie que le polynome F. Les relations non sym(5triques ne nous apprendruiil. rien d(^ plus cjnc h>* relations sym^triqucs. De loule rolalion non syin<5lriquo, il osl on ollot ais«i do deduire une relation symetrique. La relation -entraine en effet la suivante : qui estsyme'trique. Les deux Equations, si Ton tientcompte des e"galit^s (2), conduisenl d'aillours aux m^mes relations line'aires entre les transcendantes A (a, (3, s). II suffira done d'^tudier les relations sym^lriques. Nous devons done rechercher quels soul les polynomes H qui peuvoul so meltre sous la forme (3). Parmi les expressions de la forme (3), nous distinguerons encore cellos (|u<^ nous appellerons syin&triques. Nous dirons qu'une expression (3) esl syme'trique si Ton a (5) et DEVELOPPEMENT DE LA FONCTJON PERTURBATRICE. 10 De cette definition il resulte que, si un polynome H est egal a une expres- sion (3) sym<5trique, ce polynome sera lui-m£me sym<3trique. Si les polynomes P el Q sont de degre />, il en sera de m£me do dP eL 1'expressioii (3) sera an plus de degre p 4- 1 ; je dis au plus parce qu'il pourrait y avoir des reductions. Gela pos<3, nous avons vu qu'il y a (m-{~ i)2 polynomes H symetriques de degr£ m, lin^airement independants. D'autre part, nous devons nous demander combien il y a d'expressions (3) symelriques et Iin6airement independantes qui sont egales a un polynome de degre m au plus. Pour que ^expression (3) soil t^gale a un polynome d'ordre m au plus, il suffit que P et Q soient d'ordre m — i au plus. D'autres expressions (3) ou les polynomes P et Q seraient de degre superieur am — i, pourraieut par suite de reduction, 6tre (5gales a un polynome d'ordre m ou d'ordre inferieur. Mais nous les laisseroiis de coU§; on peut d'ailleurs d(5montrer que ces expressions ne nous conduiraient a aucune relation rxouvelle.. Nous devons done nous demander combien il y a d'expressions (3) sym£- triques et lineSairement independantes ou les degr6s de P et Q ne d^passent pas m — i. Combien y a-t-il de polynomes P d'ordre m — i satisfaisant a la condi- tion (5) et lin&urement ind^pendants ? Un polynome de degr<5 m — i contienl (27?l — i)2 coefficients; mais en vertu de la relation (5) un de ces coefficients est nul, celui du terme tout connu et les autres sont 6gaux deux §. deux; le polynome contient done (2m — i)2— I , N ^ - 1 - =- 2 m(m — i) coefficients arbitrages . II y a done %?n(m — i) polynomes P ind^pendanls de degr6 (m — i) satis- faisant & la relation (5). A chacun de ces polynomes, correspondra un polynome Q d^fini par liqua- tion (6) et, par consequent, une expression (3). rg DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. II y a done *m(m—i) expressions (3) symtUriquos el ou les polyaomos l> el Q sont de degre m — i et Iin6aircment independanls. Si toutes ces expressions <3iaient dislincles, il y aurait seulemenl ( 7/1 -f- I )2 — 2 m (m — I ) polynomes H lineairemenl independanls et non susceptihles HVMiv mis sous la forme (3). ^ous sommes done conduits a nous poser la.queslion suivanle : cos 2 /// (/// * - i ) expressions sont-elles distinctes? Pour qu'elles Ic soicnl, il faudrait. qu'un nr put trouver aucune identity de la forme ou, ce qui revient an m^me, aucune idenlite de la forme S*il y CL p identites de cette forme lineairemeiit independaiiLes^ il y tturtt au plus (m -hi)2— zm(m-i) polynomes H lineairement independents et non susceptible d'etre MIS ,v«//,v la forme (3) Cherchons done les relations de la forme (7). Cette relation signifie que QF^I^'-PF^I^ ® y esi une difierentielle exactej'je 1'appellerai el, je me propose de demontrer que S est un polynome d'ordre in — a. Regardons, en eflet, un instant y connne unc conslante; nous auroiis alors «= r «/ L'integrale du second membre est une intcSgralu elliptique, Pour introduire les fonctions elliptiques, posons aa . — [COS J 0' - J»i) - DgVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 17 Alors <$ est un polynome du troisieme degre* en x et le coefficient de x* est egal a 4. Adoptant les notations de WeiersLrass (qu'Halphen a aussi employees dans son Ouvrage), je poserai — e2— fl±) (a? — = o, (&t II est clair que 04, £2, e$ sont fonctions dey; il vieiit alors /QFs-f-l # ^ La fonction sous le signe / est June fonction doublement periodique de u. Cette fonction est paire, ellc admet quatre poles, a savoir o comme infini d'ordre im •+- 2s H~ i, 032 » 0)3' » Observons que, %s (Slant impair, tous ces uombres sont pairs. 3 D'ailleurs, si s est plus grand que -- ? les deux derniers nombres sontn^ga- 2 tifs, de sorte que co2 et co3, au lieu d'etre des infinis, sonl des zeros. De'composons cette f one Lion doublement periodique en elements simples ; la decomposition sera de la forme Les coefficients A, B et C sont des constantes par rapport a x et ne dependent que de y ; je de"signe par H une d£riv<5e d'ordre quelconque de 1'une des fonctions C(tt), S(W — (Oi), 'C(w—tOS)? C(M — CU8). Remarquons que, la fonctioii <5tant paire, H ne pourra 6tre qu'uiie d^rivee d'ordre impair; c?est pour la me"me raison que le d^veloppement ne contient pas de terme dependant des fonctions ? elles-m^mes, rnais seulement des termes provenant de leurs H. P. — VIII. DEVELOFFEMfcJN f En integrant nous trouverons '-f- D, oii H' est une cterivee d'ordre pair des fonctions £ et ou D est une fonciion dey seulement. Quand u augmenle de 20)4, celte expression augmenle de ^J== 2A Wi-h 2'OiSB, Oil SB = B0-f-B1-f-B2-4-B3. De m&me, quand u augmente de 20^, cette expression augmentc do II est clair que A, 2B, &)1} 734, &>2, v?2 sont des fonclions de 7, mais je dis que t]/4 et 4*2 ae peuvent ddpendre de y. En effet, quand z^ augmente de 20)1 on de 2co2, SFJH~a augmentc dc ^i ®{l de df«> et augmente de -^ ou de -j^- Mais __ _ et est, par consequent, une fonction p<3riodique de u ; on a done dtyi _ ofya _ dy~ dy ~ °J ce qui montre que ^i el ^a sont des constantes j Or il y a deux valeurs remarquables de y, & savoir y = ± v/~ tg- pour lesquelles le polynome * est divisible par a?2, pour lesquelies, par cons6- quent, on a *\ = ez. Si nous faisons d^crire a la variable y un contour fermti aulour dc cello valeur remarquable, e% ddcrit un contour ferm6 autour de e4 . Done 6)1? &>2j yj1? yj2 se chaagent en A et 2B ne changent pas. D£VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 19 Done fyt. el fa se changent en Mais <p4 et ^2 qui sonl des conslanles ne doivent pas changer, on a done d'ou D'aulre part, il y a deux valours remarquables de y pour lesquellcs 1'equa- qualiou <& = o a une racine double, pour lesquelles, par consequent, e*= e3. Quaiidj lournera autour de 1'une de ces deux valeurs reinarquables, les deux racines e% et e% s'^changeront; &u, oo2, y}4 et rj2 se changeront en 0>i, W2—. to),, '/li, Vlo—^; par consequent, 4*1 et ^2 se changeront en <h, ^a— «ti; on a done ^=6o-.^1} d'ou ^=0 et, par consequent, ^2=0. Ces deux Equations peuvent s'ecrire A tOi-h "Oi SB = o, A wo -h -r\z S B = o et Ton en tire A = 2B = o. Ces deux Equations nous apprennent que SFJ+2 est unc fonction doublement periodique de u. Cette fonction est impaire eL admet au plus quatre poles, a savoir: o d'ordre 2mn- 25, 0)2 » — 4 — 2 *j 0)3 » — 4 — 25. D'autre part, FJ+2 est une fonction doublement periodique impaire qui admel o et wi comme poles d'ordre 2$ +-4> ^2 ct w^ comme zeros d'ordre 2^ +4* 20 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Done S sera une fonction doublement ptkiodique pairc pour laquclle o sera un pole d'ordre (zrn-h 2$) — (zs -t-4) = 2(7^ — 2), 0)l » (2/W-H25) — (25 4-4) = 2(/7l — 2), 0)2 » — 4 — 2*H- (25 -f- 4) = 0, 0)3 » — 4 — 25-1- (25 -4-4) = O. Alors S £tant une fonction periodique paire de u est unc fonction rullon- nelle de x] comme elle no devient infinie quc pour u = o cl pour r/. = 6)t, c'est-a-dire pour a? = oo et pour x = o, ce sera un polynome enticr on x t'l, -; et enfin, comme ses deux infinis sont d'ordre 2(m — 2) par rapport a u, cc polynome sera d'ordre ra — 2. Ainsi S, considt5n5e comme fonclion de x, esl un polynome d'ordre ///. — a en a? et-; pour la m$me raison, consideree comme fonclion do y, ce sera (in cc polynome d'ordre m — 2 en y et - • Nous conclurons done que S, consideree comme fonction de x el de y, est un polynome tfordre m — 2, an sens donne plus haut ii ce mot. C. Q. F. D. Mais Texpression jouit d'une double symetrie : i° Quand on permute x ety, F ne change pas7 Q se change en P et 1J expres- sion change de signe; 2° Quand on change x Qly en^ et-3 F ne change pas, P et Q cliaiigenl do signe, •— et -^ changent de signe et 1'expression ne change pas. «/ Le polynome S jouit done des propriet6s suivantes : (8) II y aura done autant de relations de la forme (7) qu'il y a de polynomes S d'ordre m — 2 satisfaisant aux Equations (8). Un polynome d'ordre m — 2 contient (27W — 3)2 DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 21 coefficients; mais, parmi ces coefficients, (zm — 4)" sont (jgaux quatre a quatre en valeur absolue; ce sont ceux des termes en ou Pexposant a n'ost <3gal ni a [3, ni a — (3. II y en a ^in — 3 qui sont nuls : ce sont ceux ou a est egal a (3; il en est do mtoie des zm — 4 coefficients oil a est <5gal a — (3. II y a done en tout polynomcs S lin<3airemcnt ind(3pendanls ; c'est aussi le nombre des relations (7), do sorle que p = (m — 2)2. // y a done ait plus (in -h i)2 — 2/?i(/?i — i) H-(/?I — 2)2= 5 polynomes H lineairem,ent independants entre eux et de ceux qui sont snsceptibles cK&tre mis sous la forme (3) ; ce nombre 5, et c'esi la le point essentiel, est indt5pendant de in eL de s. Les polynomes P et Q (5lanl arbitraires el assujettis seulement aux conditions (5) et (6), nous pouvons regarder leurs coefficients comme des constantes donntfes. Les coefficients de 1' expression (3) seront done des fonctions lintfaires des coefficients de F et, par consequent, des polynomcs entiers par rapport aux deux grands axes a et a! et a cos J. Notre expression (3) sera done de la forme suivante : ou les C sont des fonctions rationnelles de a, a! et a cos J. Nous avons vu qu'& chaque expression (3) correspond une relation de la forme (4). Cette relation s'tfcrira ce qui donne (9) II y a done entre les A («, (3f ^), qui sont des fonctions transcendantes de a, a2 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. ar et cosJ, une infinite de relations lin&iires donl les coefficients sonl des fonctions rationnelles de ces m6mes 6lt5mcnts. Nous ne consid<3rerons pas q iranscendantes A (a, (3, s} commc di$(i/ictes, si ces q transcendantes sont Ii6es par une relation de la forme (9). Considdrons alors les transcendantes oft $ a une valeur determine el ou a ct (3 sonl au plus tfgaux a m en valour absolue. Ces transcendantes a cause des relations (2) sonl au nombre de (/» + i)- correspondant aux (m + i)2 polynomes H de degr<5 w, symdlriqucs cl linOairo- ment ind^pendants. Mais parmi ces (m + i)2 transcendantes, combien y en aura-l-il qui soionl. distinctes? D'apr^s ce qui pr£c&de, il y en aura prgcistfmonl auiant que do polynomes H Iin6airement ind^pendants entrc eux el de ccux qu'on pent tueitro sous la forme (3), c?eat-^-dire cinq. Parmi nos (m + 1 )2 transcendantes , il y en aura au plus cinq qui seront distinctes, et cela quels que soient m et s. Comme le nombre m peut 6trc pris aussi grand que Ton veul, nous pcuivous encore dnoncer le r6sultat comme il suit : Parmi les transcendantes A(a, (3, s) en nombre injiniqui correspondent ft une valeur donnee de ss il y en a au plus cinq qui seront distinctes. Maintenanl, nous avons par d^finilion Or F ' — cos ^ — ce que j^crirai plus simplement T et a ^umt des exposants ^gaux & + x , o , ou — i ; el les D 6lant des coefficients de la forme D£VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 28 et, par consequent, fonctions rationnelles de #, a1 et cos J. II vient alors A(«,P,,) = SD (r ^ ' ™ } JJ ou A(«, p, .9) = sD.A(a-T, p-3, *-i). Les coefficients D eianl rationnels en a, a' eL cosj, les Lranscendantes qui correspondent a la valour s du iroisifcme exposanL se ram&nent a celles qui correspondent a la valour ,? — i ; celles-ci se ramtoent de m£me a celles qui correspondent a la valeur s — 2, et ainsi de suite, Toutes les transcendantes qui correspondent a unc valeur du troisi&me expo- sant plus grande que s — n: se ram&nenl done a la valeur s — n et comrne, parmi ces derni&res, il y en a cinq qui sont distinctes, jo puis enoncer Ic rgsullat suivant : Parmi les transcendantes qui correspondent & une valeur du iroisi&me exposant plus grande que s — ;i, il y en a au plus cinq qui sont distinctes. Mais je puis prendre Fender n aussi grand que je veux, je puis done dire : Parmi toutes les transcendantes A(a, (3, j), il y en a au plus cinq qui sont distinctes. Les coefficients du d^veloppement de la fonction perturbatrice sont, a un facteur constant pr^s, ggaux AA( a, (3, — -j; done les coefficients du d£ve- loppement de la fonction perturbatrice sont des fonctions transcendantes de a, til et cos J; mais toutes ces fonctions transcendantes sont des combinai- sons lin&xires de cinq transcendantes distinctes, ou de ces transcendantes multiplies par des fonctions rationnelles des m6mes dements. Calculons maintenant les d6riv£es partielles de A (a, p, s} par rapport aux 6l6ments a, a1 et cos J. La differentiation sous le signe' / nous donne d?A(«, p, s) _ CT dx dyY*-+ dF da —SJJ ^a+ij/p-hi da* jn Mais j- est un polvnome en x> y dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de a, a! et cos J. Je puis done <3crire 24 DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. les E dtant rationnels en a, a1 et cos J : il vient, par consequent., da Ainsi la d«5rivt§e ^A^' *• sc ramfene atix iranscendanles A(«, fi,*-i); il en est de mtaie pour la mfimc raison des deux anlres di$riv<5es partielles 4A(a,P, J) g/A(«, p, Q da' ' En diflferentiant on trouve /•/R Les coefficients de cette relation, E et -?- ? sont encore dos functions ration- cCa nelles de a, a' et cosJ; par consequent, la d^rivc3e seconde -7-7 &Q ranu^iii1 nux transcendantes A et a leurs d^rivt^es premieres — ; mais nous venous do voir que ces d(5riv^es premieres se ram^nenL cllos-mdmes anx trnnscoiulanlcs A. Done la d(^riv(5c seconde se ram^ne aux transcendantes A et il en est de m6me pour la m£mo raison dt\s autres d6riv£es partielles du second ordre et des d(§rivdcs partiollcs d'ordir sup^rieur. En rdsum6, les A(a, (3, 5) e^ Zeztr^ deriv&es partielles. des different^ onlrw par rapport a a, a! et cosJ sont des f one lions transcendantes de u, <t! H cos J; maiS) parmi ces transcendantes en nombre infaii, il y en a auplus cinq qui sont distinctes. Nous pouvons, en particulier, consid&rer une des transcendanles A(a, |3, ,v) et ses d^riv^es des divers ordres par rapport a a; six quelconques do ces fonc- tions sont li^es par une relation lin^aire dont les coefficients sont des functions rationnelles de a] done : Les coefficients du d&veloppement de la fonction perturbatrice, regard^ comme fonctions de a, satisjont a une Equation differentidle lintaire coefficients rationnels du cinquieme ordre auplus. a, DgVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 25 II en sera encore de meme si ces coefficients sont re gar des comme fonc- tions de af ou de cosJ. Considerons mainLenant deux transcendantcs : A(a, p,*), A («',£',*') (que j'appellerai pour abrgger A et A') et les qualre premieres d^riv^es de A par rapport a a] ily aura entre ces six fonctions une relation lin^aire a coefficients rationnels. Si dans cette relation le coefficient de A' n'est pas nul, nous conclurons quc A' peut 6tre <3gal6e a une combinaison lin^aire de A et de ses d<3riv<5es multi- plies par des fonctions rationnelles de a, 61 el cos J. Si, au contraire, ce coefficient de A' £tait nul, nous conclurions que A satis- fait a une Equation lin^aire, non plus du cinqui&me, mais du quatri&me ordre. Done, on bien tons les coefficients do la fonction perturbatrice satisferont a une Equation lintSaire du quatri&me ordre ; ou bien tons ces coefficients pourront 6tre 6gal<5s a une somme de cinq termes, et chacun de ces termes sera 6gal au produit d'une fonction rationnelle de a: tt'ctcosJ, par le premier de ces coeffi- cients ou Tune de ses d£riv<3es. Mais il y a plus; consid&rons les diverses transcendantes de la forme suivante : les coefficients G <Hant rationnels en «, a1 et cos J. Si toutes ces transcendantes ne satisfont pas a une Equation diff^rentiellc lin^aire du quatri£me ordre, je choisirai Tune d'elles qui ne satisfera pas a une Equation du quatri&mc ordre et que j'appellerai O(). Alors toutes les transcendantes A (a, (3, s) pourront 6lre dgal(§es a une combi- naison lin^aire de <£0 ct de ses quatre premieres d^riv^es multipli^es par des fonctions rationnelles de a, af et cosJ. Si, au contraire, toutes les transcendantes $ satisfont a une Equation du quatri&me ordre, j des considerations emprunt^es a la th^orie des Equations diflferentielles lin($aires, mais qu'il estUnutile de reproduire jici, permettraient de montrer que quatre de ces transcendantes au plus (et non plus cinq) sont distinctes, et Ton arriverait encore au m6me r^sultat que je puis dans tous les cas &noncer ainsi : H. P. — VIIL 4 26 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRJCE. Les coefficients du developpement de la fonction perturb a trice peuvent se deduire d'une seule transccendante $0 ct cela de la maniere suivunlc : Chacun de ces coefficients sera egal a la somme de cinq ternws an plus; chacun de ces termes sera le produit, de deux facteurs ; le premier fact en r sera la transcendante #0 ou Vune de ses quatre premieres fleriw'e.s pat- rapport a a; le second facteur sera line /auction rationnelle <lc <t, <tf ct. ciosJ. Ces propri^tds des transcendaiites A (a, (3, s) soul tout a fail analogues unx relations de recurrence bien connues cntre les coefficients do Laplace, II semble qu'elles puissent rendre, dans le cas ou les cxcentricitds sont faibles et les inclinaisons fortes, des services analogues a ceux qui rcndent c<»s relations de recurrences bien connues, quand les excenlricitds or. Jos inclinaisons sont faibles a la fois. SUR LE DEVELOPPEMENT APPROCHE DE LA FONCTION PERTURBATRICE Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. 126, p, 370-873 (Si Janvier 1898). On peut dtfvelopper la fonction perturbatrice, soit suivant les cosinus des multiples des anomalies moyennes, soit suivant ceux des anomalies excen- triques. On oblient ainsi des d^veloppemenls de la forme suivante : Dans cette formule A repr^sente la distance des deuxplan&tes, Zet I1 les anomalies moyennes, u et u! les anomalies excentriques. Posons On sail que les coefficients A peuvonl 6tre repr6sent<$s par une integrate double de la forme fr '= // JJ prise le long des deux circonf&rences 28 DEVELOPPEMENT APPROCH^ DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Q et F sont des polynomes en x: y, - et . -» m 2 en d&ignanl par sincp et sincp' les deux cxccnlriciltfs. Les coefficients B peuvent £tre represented par utio mu^ralc double <!<• m£me forme, avec cette difference que Q se ri?duil a um1 conslanto nl.fi a «(?ro, de sorte que 1'exponentielle e^ disparail. On peut se proposer de calculer la valeur approclitfe dos coofficionis A <»l It pour de grandcs valeurs de m et de /??'. Soit, par cxomple, m = an -h b. m' = en H- r/, ou a, &, c, <^ sont des entiers finis et donnas unc fois pour toutos ot ofi // <\sl un entier tr^s grand qu'on fera croitre indgfiniment. On sail, que lo ralrul approch^ des coefficients se ram&ne a I'cSlude des points singuliors cfum* <^c»r- taine fonctiou analytique que je vais me tire sous la forme ([in* lui a M. Fgraud : ou n varie de o d + oo . Cette fonction est egale a Pint^grale double «<•>=/• / _ \ GA et &0 sont des polynomes de m<*me forme que 12, mais ou los onliors ;/? 01 />// sont remplac^s par a et c pour iJ0; par 6 el d pour i2i. On peut former une fonction *(*) analogue relative aux coofiiciouls ,B <»i au d^veloppement suivant les anomalies excentriques ; on trouvc encore 11110 mt^grale de m^me forme, mais ou Q doit 6tre remplacci par uno consianUs; QQ et Qi par z^ro, de sorte que les exponentielles disparaissent. U6tu.de analytique de cette fonction Q(x) peut, en consequence, presenter un certain int£r6t; voici les r^sultats auxquels je suis parvenu : Supposons d'abord les excentricit^s nulles j ou bieu encore suppusons qu'il s'agisse du d(5veloppemeut suivant les anomalies excentriques. Dans cos d«ux" cas Tintdgrale qui repr^sente »(*) ne contient pas d'exponentiellc. DgVELOPPEMENT APPROCH^ DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 29 On Lrouve alors que *(*) salisfail a une Equation diflferentielle linSaire a second membre Les coefficients du premier membre et le second membre P sonl des poly- nomes entiers en z. Dans le cas g&n<§ral, ou les exponentielles ne disparaissenL pas, la fonction $(,s) satisfait encore a une equation do mdme forme, mais les coefficients du premier membre el P ne sonl plus des polynomes entiers en z\ ce sont des fonctions uniformcs, mais transcendantes dc s, n'ayant pour points singuliers que Z = O, Z = 00. Revcnons au cas ou les cxcciitricites sont nulles, ou bieii a celui du develop- pement suivant les anomalies excentriques, c'est-a-dire au cas oft les exponen- tielles disparaissent; supposons les entiers a et c premiers entre eux et soient a et y deux entiers tels que etc— ay = i. Posons Texpression de $(z) deviendra L'int<5grale doit cUre prise le long des deux circonferences I6l«i, hi = x, et il s'agit d'etudier le developpement de $ suivant les puissances negatives de t. Les lettres Q4 et FI d^signent deux polynomes entiers en £ et V. Liquation Fi(?, vO = o, consid<5rcje comme Equation en TJ, admettra un certain nombre de racines f\ij "Ha, -.-, "nm- Ges racines se r^partiront en deux categories : la premiere cat6gorie comprendra celles qui, quand on fait varier g d'une mani^re continue, de facon que la valeur finale de £ ait pour module i , ont leur valeur finale de module plus petit que i, 30 D^VELOPPEMENT APPROCHfi DE LA FONCTION PERTURB ATRICE. Les points singuliers seront les valeurs de£ pour lesquelles liquation Kt = o a deux racines e'gales. Le point singulier est admissible si son module est plus petit quo i oi. si low deux racines de 1'^quation F4 — o qui deviennent egales apparlienueiU A <lcn\ -categories differentes. Soit a celui des points singuliers admissiblcs donl le modulo osl le plus grand. Alors, le developpemenfc de $ suivanl les puissances noga lives do (, s(»ra convergent a Texlericur d'une circonforcncc do rayon. | a \. En d'aulros ICIMUOS, la valeur approchee de A.mm, sera du mdmc ordre de grandeur quo a". La discussion se trouve ainsi simplified. Des proce'de's analogues sonl applicablcs au cas general ou les o ne disparaissent pas . DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE Bulletin astronomique^ t. 15, p. 70-71 (fevrier 1898). Dans le nume'ro de decembrc 1897 Je me su*s occupe du d<3veloppement de la fonction perturbatrice et j'ai 6tudi6 les coefficients de ce deVeloppement dans le cas ou les excentricite's sont nulles el les inclinaisons notables. J'ai montre" que ces coefficients peuvent, a Faide de certaines relations de recurrence, se d^duire de quelques-uns d'entre eux dont le nombre est auplus (5gal a cinq. J'ai montr<§, en outre, qu'ils satisfont a des Equations diffe*rentielles line*aires dont Fordre est au plus e"gal a cinq. Mais on peut aller plus loin. Nous emploierons les m6mes notations quo dans le travail auquel je renvoie. Nous observerons que F ne contient que des termes d'ordre pair en x ety, de telle sorte que F(^y) = F(-^-y). II rdsulte de la que les coefficients A(a, (3, s) sont nuls si a + |3 est impair. II suffira done d'envisager les int(5grales de la forme xy ou H est un >polynome de degre* m satisfaisant non seulement aux conditions mais, en outre, a la condition 32 DgVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Le polynome H contient alors coefficients arbitraires. Nous sommes conduits de m6me a supposer que les polynomi's l» ci Q satisfont 11011 seulement aux. conditions mais a la condition POF,/) = P(-a?, — JO, II esl clair, en cflet, que, si P salisfait a. ccltc condition, il en csl dik de Q et de H. Un polynome P? assujetti a ces conditions et do dcgrc m — i , conlioul alors /?^2 — /7i coefficients arbitraires. Enfin Fidentite nous montre que S(*,y) = S(-a?,-(x). Un polynome S, de degr6 m — 2, satisfaisant aux conditions contient (w — 2)(rn — 3) 2 coefficients arbitraires. Le nombre des expressions de la forme (i) qui restent indtSpendaulos osl. done ;^-h 2) ( Done tous les coefficients du d<3veloppemeni peuveat se dtiduiro do d'entre eux seulement. Chacun d'eux satisfait £ une Equation difF6rentielle lin&urc du qualri&mo ordre. DfiVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE Bulletin astronomique, t, 15, p. 449-4^4 (decembre 1898). 1. Los coefficients du dgveloppemenl do la foiiction perLnrbalrice sont eux- m6mes dos functions des elements et peuvcnl 6tre d^vclopp^s, par exemple, ^suivanl les puissances des cxcenlriciles et des inclinaisons. On peut se proposer do rechercher quelles sont les conditions de convergences de ces dtSvelop- pemenis. Nous ddsignerons par A la distance des deux plantHes, par u et uf les deux anomalies excenlriques, par / ol /' les deux anomalies moyennes, el nous tHu- dierons lo developpenicnt de ~» c'esi-a-dire de la partie princlpalc de la fonc- lion perturbalrice; nous dislinguerons le d<5veloppemenl suivant les anomalies niojennes et le d<$veloppement suivant les anomalies excentriques. Soient I v A «/=!(«/-!-»*'/') - = 2A,,/jm-^ le prcnnier de ces dtSveloppemcnts et v ~r = * J le second. Je reprfecnle par E la base des logarJlhmos H. P. - VIII. 34 DE>ELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Les coefficients AmX, de meme que les coefficients Bm, „, peuvcni s'exprimcr par des integrales definies. Posons Alors A2#2/2 sera un poljnome du sixifcme degre en x et 7. Soient e et e' les deux excentricites et posons me "2" Nous aurons alors dsc dy (I) tK**m,m'**ff: (a) 4*2Awv,t'=J/ les integrales etant prises le long des deux circonferences Consid^rons ces integrates definles comme des fonctions des excentriciltSs cl des inclinaisons ; ces fonctions seront ^videmment d^veloppables suivunl. les puissances de ces variables pourvu qu'elles soient assez petites. Pour trouverles limites de convergence de ces d^veloppements, j'appliquerai la m^thode de Cauchy et chercherai quels sont les points singulicrs de cos integrates d^finies, consider^es comme fonctions des excenlrJcit6s et <lc« inclinaisons. 2. Nous sommes done ainsi amends a expliquer comment on irouve les points singuliers des fonctions represents par des integralcs ddfiuics el, d'abord par des integrales definies simples. Soit une integrale definie prise par rapport a x lejong d'un certain cozitowr ; coLU* integrale sera alors fonction du param&tre z. Pour que, pour cette fonction, une valeur de z soit critique, il fuut d'abord que Fun des points singuliers de F(#5 *), consider^e comme fonction de #5 so trouve sur le contour d'intggration. DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 35 Mais commc on pent d^former ce contour d'une manure continue, on peul le faire fuir devant le point singulier, et Ton n'est arr6t6 que quand ce contour se trouve pris entre deux points singuliers et ne peut plus fuir. On obtiendra done toutes les valeurs critiques de #, en exprimant que deux des points singuliers de F, consid&^e comme fonction de x, se confondent. Mais toutes les valeurs critiques ainsi trouv<3es ne convieiinent pas; il faut, en cflel, que les deux points singuliers qui se confondent ainsi soient, avant de s'Glre confondus de part et d'autre du contour; c'est seulement a cette condi- tion que le contour pris entre deux feux, ne peut plus fuir. Soit done cp(#, *) = o liquation qui exprime que la fonction F(a?, fr) prtSsente une singularity, eL supposons qu'elle se decompose en un certain nombre d'^quations indgpen- d antes, trots par exemple : On obtiendra les valeurs critiques de z de Tune des deux manures suivantes : i° En annulant deux des trois fonctions cpl5 cp2, cp:{, et en <3crivant, par exemple, on (5liminant x et r(5solvant par rapport a z, on aura une valeur critique de z\ a° En annulanl Fune de ces trois fonctions et sa dgriv<5e et ^crivant, par exemple, On aura encore une valeur critique de z en (5liminant x et rdsolvant par rapport a z. 3. Consid^rons maintenant une int6grale double cnvisag^e comme fonclioii du param^tre z et gtendue §. un champ quelconque. Le cas particulier le plus simple est celui ou Ton doit intggrer par rapport a x, le long d'un contour fixe ind^pendant de 7, et par rapport & y, le long d'un 36 D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. contour fixe inctependanl de *. C'esl prtcisfanenl co cas pnrliciilior simple <|m> 1'on rencontre en ce qui concerne les morales ( i ) el (a). Si Ton no donne a x et a y que des valeurs belles, de lollo fiiifun que lc> champ d'inWgration se rSduise & une aire plane ordinaire, co c,as pmlioulior simple correspond au cas ou cette aire est un rectangle. Le cas g<2n<5ral peut d'ailleurs toujours 6 Ire ramcnd A e<> <uis parlinilic-r simple. Pour nous en rendrc compte, supposons d'abord ([u'on iu» <Ionn« a ;r et y que des valeurs rtfelles et que le champ d'inUSgration soil une uiixi plan*'. Cette aire plane pourra toujours 6ire de$compos<3e en une infmilij d'uircs n^cian- gulaires, les une finies, les autres de dimensions indgfmimenl d(*croissanlcs. Pour que rintdgrale toiale pr^senie une singularittS il fuut ot il suflil, qu<» 1' des inl(5grales etendues aux aires rectangulaircs parliolJcs ailinut sinp 11 suffit donc'de consid^rer les aires rectangulaircs. Le mdme raisonnement, que 'je ne d^veloppe d'ailleurs pas serait applicable quand on donnerait aux variables diks valours iinagi«ainis, si Ton observe d'autre part que Ton pent toujours ddfornuirln cliaui|) (rinir^n)tion d'une mani&re continue. On ne reslreint done pas d'une fa con essentielle la gtfntfraliu'! <^u sc supposant plact^ dans ce cas pariiculier simple; pen nous imporlc d'ailleurs au point di» vue qui nous occupe, puisque avec les intdgralos ( [ ) ct (a) uons nous (rouvons d^embl^e dans ce cas simple. Soient done C.r et Cv les deux contours fixes d'hittigrution par rnppnrl a ,// «»l a y. Soit Tini^grale <5tant prise le long de C.r. Notre inl^grale double sera alors 1'int^grale <§lant prise le long de Cy. Nous n'avons plus qu'A appliquer les principcs du nunuh»o pr^c^dtMU aux deux int^grales simples f F dx, C 9 dy. Soil ?(*, y, *) = o liquation qui exprime que la fonclion F a une singularity. DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 87 Di'coinposoiis celle <2qualion en equations irreduclibles On obliendra les singularities de la fonclion 0 (y, z] : i° En annulanl deux des fonclions cpl5 cpa, cp.{ el ecrivanl, par exemple, ) = o; 2° Eii iumulanl Line des Lrois fonclions eL sa derivee el ecrivanl Ces singularile's peuvenl ne pas loules conveiiir, car il peul arriver qtie les deux poinls singuliers, qui se confondent, soienl d'un mtaie cole du contour d'inl(5gration. Pour avoir les singulariles de vj(s), considerons mainlenanl celles de- 0 (y, 5), qui nous scront donnees par des syslemes d'equations de Tune des dcuxfonncs ?i= 9s =o, et cherchons les conditions pour que deux de ces singularite's se confondent. Si nous considerons s comme un parametre, x et y comme les coordonn6es d'un poinl dans un plan, les equalions (3) repre'senleni un Certain nombre de courbcs planes. Les singularile's de 0 donne'es par un sysleme d'e'quations de la forme 9i = 92s ° correspondronl aux points d'intersection de ces courbes; celles qui seront donne'es par un systeme de la forme correspondent aux points de contacl d'une de ces courbes avec une tangente parallele a 1'axe des y. Pour que deux de ces singularite's se confondent, il faut : i° Ou bien que trois des fonctions cp s'annulent a la fois. 38 DiVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 2" On bien que Ton ait a la fois dtyi <$>!= — ~ = o, cp2=o; mais comme la condition ne doit pas dgpendre du choix des coordomufos, el, qu'en particulier elle doit subsister quand on permute x el/, on devra avoir aussi et7 par consequent, ce qui veut dire que Tune des courbes (3) aura un point double; 3° Ou bien que les deux courbes Op j £S 0» Cpg=: 0 soient tangentes 1'une £ Fautre ; 4° Ou enfin que les deux courbes soient tangenles 1'une a Fautre. Mais cela entraine : ou bien •— = o. ou bien — ~> = o; dy dx* mais, comme la condition ne doit pas changer quand on perrnulc x el/, on devra avoir dans tous les cas En rdsumtS, les valeurs critiques de £ sont : i° Celles pour lesquelles trois des courbes (3) so coupeiil en un point; 2° Celles pour lesquelles deux de ces courbes sont tangentes; 3° Celles pour lesquelles une de ces courbes a un point double. Settlement toutes ces valeurs peuvent ne pas convenir, car les deux singularity s qui se confondent peuvent £tre situ^es d'un in£me c6t^ du contour d'intdgraiion. DfiVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 3g 4. Appliquons ces principes aux integrates (i) et (2). La fonction sous le signe / sera holomorphe tant par rapport a x et y que par rapport aux excentricites e et ef et a sin-, J etant Finclinaison. II j aura exception seulement : i° Si e = i ou ef= i (condition ou x et y n' inter viennent pas et sur laquelle nous reviendrons); 2° Si x ou y est nul ou infini; 3° Si A s'annule, c'est-a-dire si F = A#2y2, qui est un polynome entier du sixi&me ordre en #, y, est egal a zero. Cela est vrai quels que soient les entiers m et mr; cela est vrai d'ailleurs aussi bien de Fintegrale (2) que de 1'integrale ( i ), car VetE^ne cessent d'etre holomorphes que si x ou y est nul ou infini. Les courbes qui correspondent aux courbes (3), c'est-a-dire celles dontles Equations expriment que la fonction sous le signe \ .cesse d'etre holomorphe, se r^duisent done, en ce qui concerne les integrates (i) et (2), aux quatre droites (4) # = 0, y = 0, 57=00, y = oo et a la courbe du sixi&me degr<5 Cette derni£re, dans le cas ou Pinclinaison est nulle, se decompose en deux courbes du troisi&me degr6 (4 *«r) F! = O, F2=o. Pour trouver les valeurs critiques des excentricit^s ou des inclinaisons, nous devons done chercher celles pour lesquelles trois de ces courbes (4) ou (4 bis) se coupent, ou pour lesquelles deux de ces courbes se touchent, ou pour lesquelles une de ces courbes a un point double. Mais, comme ces courbes sont les monies pour les integrates (i) et (2), les valeurs pour lesquelles une de ces trois circonstances se pr^sentera, seront^ga- lement les m&mes pour les integrates ( i ) et (2), s 4o DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. linbi les \aleurs critiques des excenlriciles ou des inclinaisons sont les mernes pour les deux integrates ( i ) et (2). Mais une question pourrail encore se poser; nous avons vu quo Ionics les \aleurs critiques ne conviennent pas. Ne pourrait-il se fairc qu'une de cos \aleurs convinl u (i ) sans convenir A (a) ou invcrsemcnl. La reponse doit etre negative. Comment se fait-il, en ellel, que cerlaiue* \alctirs critiques conviennent et que d'aulrcs ne conviennent pas? Pour nous en rendre comple, faisons varier d'une maniere continue Tun de nos puramislres, par excmple 1'excenlricile e, et, en mtoie temps, cWormons d'une mnniiVe continue les contours d'inKSgration. Nous devons dirigcr cello deformation de tellc sorle qu'aucunc des valours smgulieres definies par les equations (f\) et ($b(s) nc se Irouve dans le champ d'inUSgralion. Si, e variant d'uno maniere continue dopuis zt^ro jusqu'a eQ, on peul s'arraiiger do facon quo cello condition ne cesse jamais d'eire remplio, c'est que en n'est pas une veritable valour critique; e(} ne convient pas; si, au conlraire, il est impossible de s'arrunger pour que la condition soil remplic (parce que, commc jeTexpliquais plus haul, le contour d'integration se irouve pris enlro deux points singulicrs), c'est que e(l est une veritable valeur critique; e() convient. Faisons done varier e de zero a e0 et, en m6me lemps, ddfonuons nos conlnurs d'integration en partant des contours iniliaux qui soul les m£mcs pour les integrates (i) et (2); si #0 m^ conviont pas a Tint^grale ( i ), c'est que nous pouvons dtSformer nos contours do lollc ia^ou qu'a aucun moment une des valours singuli&res satisfaisaiil aux tUjuations (/j) et(4.bts) ne se trouve dans le champ d'int<5grniion. Mais si cello condition no cesse jamais d'etre remplic en ce qui concerne l'inl<$grale (i), olio nc CCSSITM jamais non plus de l'£lre en ce qui concerne I'inl^grale (2), puisqnc los Equa- tions (4) et (^bls] qui d&finissent les valeurs singuli^res sont los m6mes pour ( i ) et pour (2). Done e& ne conviendra pas non plus a 1'inldgraio (2). c. Q, F* n. Voici done un premier r^sultal'. Les coefficients Bm^ du d&veloppement de la fonction perturbalrice suivant les anomalies excentriques^ ainsi que les coefficients A^m' du d&ve- loppement suivant les anomalies moyennes sont eux-m&mes developpables suivant les puissances des excentricites et des inclinaisons. DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 4l L<>s luniles de convergence de ces nouveaux developpements sont les memes pour les coefficients Bmm, et pour les coefficients Amm,; elles sont les inernes pour tous ces coefficients quels que soient les entiers m et m'. 5. Considerons le cas ptirliculicr ou les cxconlricites sont nulles e = <?' = o. On ii alors o — 0 v — i — — « j j i — j, ol, pur consequent, A-HI,MF== uintrn'- On a alors A- =5 cos2 - «a H- a'- — «a' ( — h i ) -H sin2 - «2 -+• a'2 — #a' ( ^y -h — ) . 2[ \7 WJ at \ ^ ^r/J Si nous posons on en lircra cos2 #a'Y sina~- 2 2 On irouvera Louies les singularit(5s on ecrivanl que la courbe A2 = o a un point double; or, comme A2 est fonction lin^aire de X el de Y, celte courbe ne pcul avoir de point double que si les Equations ou X el Y sont r£gard(?s comme les donntfes, - et xy comme les inconnues, ont Tune et 1'aulre unc racine double, d'ou X=±25 Y=±2. Voici done la condition pour que la courbe A2= o ait un point double (5) a2-<- a'2±2 fla'cos* - ±2 aa'sin2- = o. v / 22 11 n'y a pas lieu de chercher ce que donneraient les aulres conditions, a savoir que trois des courbes (3) passent par un m6me point ou que deux de ces courbes se touchent. Ici, ou les courbes (3) sont les quatre droites (4) etla courbe A2= o, aucune de ces circonstances ne se pr^sentera. II reste done & ^tudier la condition (5). H, P. -YJII. . 6 42 DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Posons v = sin2-et proposons-nous de deSvelopper suivant les puissances croissantes de v. La condition (5) devient ce qui peut s'Scrire de 1'une des deux mani&res suivantes : (5 bis) (a'±a)«=o; «24» a'*±* aar(i-z v) = o. Dans la premiere de ces relations v n'entre pas; la seconde donne Le rayon de convergence sera done la plus petite des deux valeurs 4aa' ' c'est-a-dire (ar-aY- 4 act! Ainsi la condition de convergence du d^veloppement sera La discussion des Equations (5 bis) montrerait de m^me que les coeffici<*iits Am,m' sont ddveloppables suivant les puissances de a, pourvu que Mais on peut encore envisager un autre mode de dgyeloppemenl. Posons {JL as COS2 - j 2 on aura Mais nous pourrons 6crire La quantity sous le radical se r^duit 3videmment a A2 quand on fait = cos2 -5 v = sin2-* Mais nous pouvons regarder AWj^ comme fonction de fx DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 43 et do v consid£r£es comme des variables ind^pendantes, el dt§velopper celle fonction suivant les puissance croissantes de /JL et de v. La relation (5), qui d^finit les limites de convergence, s'tscrit alors a2 -+• a'2 it: 2 aaf [JL zfc 2 aa' v = o Oil La condition de convergence du d&veloppement est done 2 Cf>Clr Cette condition est toujours remplie, car on a coefficients sont done toujours developpables suivant les puissances de cos2- et sin3-- 2 2 6. Consid&rons maintenant le cas particulier ou Pinclinaison est nulle et d&veloppons suivant les puissances des excentricit^s e et e] . Les courbes qui correspondent aux courbes (3) sontles courbes (4) et (4 ter}, a savoir x = o, y = o, a? 5= oo, y = QO, F! = o, F2 = o. i° G'herchons d'abord la condition pour que FI=O ait un point double. Pour nous en rendre compte, cherchons la signification de ces Equations. Soient C 1'orbite de la premiere plan&te, C; celle de la seconde; d'apr&s notre hypoth^se ces deux coniques sonl dans un m&me plan. A chaque valeur de x correspond un point M de la conique C et a chaque valeur de y un point M7 dc la conique C;. Liquation F = o exprime alors que la distance MM' est nulle, ce qui peut ne pas vouloir dire que les deux points M et M' coincident puisque ces deux points peuvent 6tre imaginaires. Liquation F4= o exprime que le coefficient angulaire de la droite MM' est 6gal a \l — i et liquation F3= o exprime que ce coefficient est 6gal a — \J — i. 4£ DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Los equations cc = o, x = oo exprimcnl quc lo point M esL a 1'infini sur Funo des deux branches infinies de la conique C; los Equations y = o, y ~oo expriment que le point M' est a Finfini sur la coniquc C'. Pour que la courbe F4 = o ait un point double, il fan! el il suflil quo la droilo MM' soil tangenle a la fois aux deux coniques C el C'. Los deux coniquos C el C' out un foyer commun, le Soleil. La droile MM', qui esL une Umgenlo isolropo a C, doit passer par un des foyers de C, el pour la mOnne rnison olio doil passer par un des fojers dc C'. Soient alors S le foyer commun de C el C', Flu second foyer de C, F celui de C'. Pour que les deux coniques admcllcnl une langcnle isolropo commune (on dehors de celle qui passe par S qui exisle toujours el qui ne saurnil conveuir), il faut done que la droite MM' passe par F el F'; c'esl-a-dire que la droile FF' ait pour coefficient angulairc \/ — i. Celle condition s'expriinc analytiquonimil comme il suit : asE-ta-BtfVE-'a'. Je represente par ny el cr' les longitudes des p<5rih<3lies. G'est, la, la condition pour que Fi = o ait un point double (on dehors do celui qui, correspondanl a la tangenle isolropc passant par S, exisle lotijours (^l ne saurait convenir). 2° De inline, la condition pour que F3= o ail un point double s'tfcril, 3" Pour que les deux courbes F,j = o, F2= o soienl langeulos, il faut quo. les deux coniques C et C' se touchent; car les points d'intersGctiou a distance finio des deux courbes Fi= o, F2= o correspondent auxquatre points d'inlcrscctioii des deux coniques* II faut done que k distance des deux foyers F et F' soil ggale ft 1« sommo ou a la difference des grands axes; ce qui s'ecril (ae E^— a?e'WB')(ae E-'w— a'«'E-'W) = (a'± a)*. 4° II faut voir ensuite si Fun des points d'interseclion des courbes (4 ter) no petit pas se confondre avec Fun des points d?intersection de Tune de ces courbes avec Tune des droites (4) ou de deux de ces droites entre elles. Ces deux categories de points correspondent respectivement : aux qua I re intersections de C et de C' (M et M' confondus) et aux cas ou les deux points M et M' sont a Tinfini sur les deux coniques G el C'. D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 45 La condilion est done que Fune des quatre intersections de C et de C1 s'tSloigne ind&iniment, c'est-a-dire qu'une asymptote de C soit parall&le a une asymptote de C'. Cola s5<$crit d'uno des quatre manures ig2 - E2^= tg2 — E2/CT', 2 2 en posant <? =3 sin o, e'= sin 9'. Je puis 6crire aussi en prenant dans chaque fraction le signe inf^rieur dans les deux termes ou le siguo sup^ricur dans les donx termes. 7. Voici done quolles sont les Equations qui definissenl les valeurs critiques,. ( 7 ) fie E-*'ST = a' e' (8) «cE'w= a' (9) f ae E'w— a'«'E«»')(atf E-'w— a'c'E-'W) = (a' i ± y^=r (10) auxquelles il conviont d'adjoindro (U) ^ = 1, fi'=I. Mais nous avons vu que loulos les valeurs aiiisi trouv^es peuventne pas convenir et il est m6mo ais6 de voir qu'elles ne peuvent pas toutes convenir. En cflet, envisageons 1'equation (7); elle est satisfaite pour e = er=o. Si done les valeurs critiques d&finics par cette Equation convenaient, notre fonction pr<5senlerait des singularities pour dos valeurs tr^js petites de e et e'. Nos coeffi- cients ne seraicnl pas dt5veloppablcs suivant les puissances de e et de ef, m&ne pour des valeurs tres petites de ces quantites. Nous savons qu'il n'en est pas aiiisi. Done les valeurs d(5finies par liquation (7) ne sauraient convenir. 4<j D1&VELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. Le mtoe raisonnemenl s'applique aux Equations (8) cl (10). 11 import*! d<> remarquer que liquation ( 10), malgre la presence des doubles signes, no rcprc- sente qu'une seule Equation analytique irrt'ductible qui prcndrait sa forme algdbrique si Ton chassait les radicaux. Cette Equation irrtSducliblo osl salisfailo pour e = e1 = o. Restent les Equations (9) cl (n). Pour irouvor la Hmile do nmver£»vmv definie par liquation (9), remarquons quc a, «', BT el w/ sonl dos domuSes do la queslion el sonl r^elles, mais quc e el ef qui sonl nos variables indtipondanlos pourront prendre des valeurs imaginaires. Donnons a e une s^rie de valeurs de module constant |c|, mais d'argumonl variable; faisons de m6mc pour ef. Le maximum du module du pn»mickr momlm* de (9) est at | <?2 1 + a'i | e'*i | + 2 ««' | tfc'cos ( w — w' ) |; la condilion de convergence esl done [ -4- 2 Nous sommes ainsi conduits a supposer que les seules conditions do conver gence de noire d&veloppement soni Je ne voudrais pas enirer dans trop de d^iails; je ne puis cependanl mo con- tenter d'un apergu : il faut done que j'explique en quelques mots comment on peut donner £ la demonstration toute sa rigueur. Consid^rons le domaine D d^fini par les in<5galit(5s (12). II nc comical pas de valeurs singuli&res satisfaisant aux Equations (9) et ( 1 1 ). Mais ilcn contie.nl qui satisfont aux Equations (7), (8), (10). Si 1'une de ces valeurs convenciil, il en serait de m£me de toutes celles qui satisferaient §. la m^me Equation et qu'on pourrait rencontrer en faisant varier e et e1 d'une mani^re continue et sans cesser de satisfaire & cette Equation. Cela serait vrai au moins en ce qui concerne la determination de la fonction que Ton alteindrait par cette variation continue. Or on verrait qu'on peut atteindre, par une variation continue, une quel- conque des valeurs singulifcres qui satisfont aux Equations (7), (8), ( 10) el aux inggalitgs ( 12) en partant de la valeur 6 = 0, e'= o et sans cesser dc salisfaire a ces equations et sans sortir du domaine D. La valeur singuli&re ^ = 0,^=0 ne convenant pas, aucune de ces valeurs ne convient. DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURB AT RICE. 4? Les conditions (12) sont done les seules conditions de convergence. La troisieme condition (12) sera satisfaite quels que soient w et wf, si 1'on a \ae\ H-| a'c'|<a'— a, c'est-a-dire si la distance p^rih^lie de 1'une des planetes est plus grande que la distance aphe'lie de Fautre. SUR LES PMODES DES INTEGRALES DOUBLES ET LE DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 124, p. taSg-iaflo (8 juin 1837). On sail que le de"veloppement de 1'expression (a2 — 2 aa'eos $ •+- a's)! suivanl les cosinus des multiples de <p, a <5u§ ires bien tfiudid. Los coofficiunu d<! ce dcJveloppement, qui sont connus sous Ic nom de coefficients de La/>lac«, jouissent de proprie'te's curieuses. Ce sont des fonclions iranscendantes du rapport £; mais ces iranscoudonios Ctf sont life, par des relations de recurrence, de telle facon qu'ollcs s'cxprimonl A 1'aide de deux transcendantes distinctes seulenoent. D'autre part, chacune de ces Iranscendanles satisfait ft une tiquatiun <lifl<i- rentielle lineajre a coefficients ralionnels. LES P6RIODES DES INTEGRATES DOUBLES. 4g L'expression (i) n'est autre chose (pour s = i ) que la fonction perturba- irice dans le cas ou les deux excentricites et 1'inclinaison sont nulles. La theorie des periodes des integrates doubles montre que le de~veloppemeiil de la fonction perturbatrice, dans des cas plus genera ux, peut encore jouir de proprietes analogues. Supposons d'abord les deux excentricites nulles, mais 1'inclinaison differente de zero. On verrait que les coefficients de developpement sont des fonctions transcen- dantes des elements, mais ces fonctions sont liees eiitre elles par des fonctions de recurrence, de telle fagon qu'il n'y a que cinq transcendantes distinctes. Si les excentricites ne sont pas nulles, ily a plus de difficult^. Mais supposons que, au lieu de developper suivant les sinus et cosinus des multiples des ano- malies moyennes, on developpe suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies excentriques. (Dans le cas precedent, les excentricit6s 6tant nulles, 1'anomalie excentrique.se confondaitavecl'anomalie moyenne,) Les coefficients de ce d^veloppement sont encore des fonctions transcendantes des 6l3ments, mais entre lesquelles il y a des relations de recurrence, de telle fagon qu'il n'y ait au plus que seize transcendantes distinctes. D'autre part, ces coefficients satisfont a des Equations dififerentielles lin^aires a coefficients rationnels, de telle fagon que leurs d6riv<5es partielles des divers ordres puissent s'exprimer a Faide d'un nombre fini d'entre elles. Revenons au d^veloppement procgdant suivant les multiples des anomalies moyennes. II n'y aura plus entre les coefficients de relations de recurrence a coefficients rationnels, ou du inoins je n'en ai pas trouve*. Mais les coefficients du developpcrnent, consider^s comme fonctions des elements, satisfont encore a des equations differentielles lineaires, de telle facon que les derivees partielles des divers ordres de 1'un de ces coefficients puissent s'exprimer a 1'aide d'tin nombre fini d'enlre elles. H. P. — VIII. SUR LES PERIODES DBS INTEGRALES DOUBLES ET LE DEVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE Journal de Mathe/natigues, 5e serie, t. 3, p. 208-276 (1897 ). Introduction. Soient u et uf les anomalies excentriques de deux asLres eL D leur distance,. Le carrS D2 est un polynome entier par rapport aux lignes trigonomiHriques do u et de u1. La partie principale de la fonction perturbatrice estpr^cis&nenl -• Elle pent se dgvelopper soit suivant les cosinus et sinus des anomalies moyennes, soil suivant ceux des anomalies excentriques, Le premier d6veloppement est le plus employed et le plus utile; n(5anmoins il peut y avoir quelque int<Sr6t & <3tudier les [propri^t^s du second pour plusieurs raisons i Quand les deux excentricites sont nulles? les deux ddveloppements se confondent, quelle que soit d'ailleurs Tinclinaison; LES P6RIODES DES INT^GRALES DOUBLES. 5 1 2° Hansen s'est servi de d<5veloppements proc^dant suivant Tanomalie moyenne d'une des plan&tes et 1'anomalie excentrique de Fautre; 3° Enfin la connaissance des propri^t^s du second d^veloppement, qui sonl plus simples, pent nous guider dans l^tude du premier d^veloppement. Quoi qu'il en soil, le carr6 D2 est un polynome du second degre* par rapport a cos w, sin &, cos &', sin u'. Si nous posons eiu=x, eiu'^zy. D2 sera un polynome du deuxieme degre" en #, - y y, — ei #3y2D2 seaa un poly- nome enlier en #, y, soil ^x2D2=F(^r), d'ou 5=*%' Nous sommes done conduits a de'velopper -— suivant les puissances positives V'F et negatives de x et de y. Je traiterai la question pour un polynome F quelconque. Pour quc le ddvelop- pemenl soit possible et valable pour il faut d'abord que F ne s'annule pour aucun des systemes de valeurs de^?et de y dont le module est 6gal a i . Sans cela, Fexpression -i= devenant infini ne pourrait plus £lre d^veloppe'e par la formule de Fourier. II faut ensuite que le radical yF revienne a sa valeur primitive quand Pargu- ment de x augmente de arc, de telle fagon que la variable x dgcrive la circon- f(5rence tout entiere du cercle ] x \ = i . Regardons y comme une constante; le polynome F, conside're' alors comme fonction de.iz? seulement, a un certain nombre de ze'ros. II faut que le nombre de ces ze'ros, qui sont a 1'inte'rieur du cercle | x \ = i , soit pair. Cela doit avoir lieu pour toutes les valeurs de y dont le module est e'gal a i . Mais il suffit que cela ait lieu poury = i; en effet, faisons d^crire au pointy le cercle |y| = i tout entier; le nombre des racines de liquation F = o, qui sont a I'int^rieur du cercle \x\ = i, demeurera constant. En effet, il ne pour- rait changer que si une des racines venait sur la circonference | x \ = i . Or, cela 52 LES PERIODES DES INliCRALES DOUBLES. n'est pas possible, car nous avons suppos^ plus haul que F ne pouvails'anmiler pour |a?| = I? \y | DI- NGUS supposerons done que, pour y = i , liquation F = o a un nombre pair de racines a PintSrieur du cercle | x \ = i . II faut enfin que le radical y/F revienne a sa valour primilive quand ravgu- ment de y augmente de 2 TT. Nous supposerons done encore que, pour x = i, liquation F = o (ofi y osl regard^e comme 1'inconnue) a un nombre pair de racines a l'inl<5rumr <lu cercle | y \ = i . Ges conditions sont d'ailleurs suffisantes. Relations de recurrence entre les coefficients. Nous aurons done le d^veloppemenl de -j= sous la forme et le coefficient A«& sera donn^ par la formule » 7) L'int^grale double doit ^tre prise le long des deux cercles 1^1 = ^ lrl=i- Les coefficients Afl& sont en g^n^ral des fonctions transcendanLos des cocfli- cients de F, mais nous allons voir qu'il y a entre les Art& des relations do n$cur- rence de telle fagon qu'il ne reste qu'un nombre fini de transccndanios distinctes. Pour simplifier, je me bornerai d'abord au cas ou a -+ i et b + i sont n<5galifs, de telle fa9on que le num&rateur de la quantity sous le signe // 3 x~a-*.y-b-i soit un polynome entier. Nous verrons plus loin que les autres cas se ramfeneni ais&nent a celui-l^t. S'il y a entre les Aab (a H- i < o, b + i < o) une relation lin&ure, cette relation s'^crira H 6tant un polyiiome entier- Nous avons done £ rechercher quelles sont les relations de la forme ( i ). LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES, 53 On peul en trouver cle la mani&re suivanle : soil P un polynome quclconque; on aura £videmment (2) car, en integrant d'abord par rapport a x, on trouvo z<3ro, puisqeP \/F rcprend la m&me valeur quand, x ayant d^crit toute la circonference | x\ = i , son argu- ment augmente de 2 TT. D'ailleurs toutes les p6riodes de Pintegrale double (2) seront nulles. Or La relation ( i ) sera clone satisfaite quand on aura De nuSme, si Q esl un polynome quelconque, on aura de sorte que la relation (i) sera encore satisfaite quand on aura w__ ^QF . i ^F Jtl = -~- Jt> H -- -7— (J. dy 2 ay Si P ct Q sont deux polynomes quelconques, on aura encore mais ce cas se ram&ne au pr^c^dent, car on a tSvidemment Premier cas. Le polynome F est homog&ne et de degrg m to x et'en y\ liquation F = o n'a pas de racine double. Nous supposerons ^galement que le polynome H est homog&ne et de degr6 q. 54 LES PJfolODES DES INTEGRALES DOUBLES. Je dis alors que si le degre" q cst suffisamment (5lev6? 011 puurra irouvcr deux polynomes P el Q tels que et, par consequent, que Ton aura toujours Edxdy II est clair que, si les polynomes P et Q son! homogcncs dc dcgre/?, on aura q = 77H-JO — I, ce qui exige ddja Maintenant, pour determiner les polynomes P et Q, je vais op(5rcr do la lacon suivante : Je d^terminerai d'abord deux polynomes A el B, homogencs <a do degr<5/?, par la relation (4) H = A^n-B^. K ' dx dy Le polynome H contient q •+• i coefficients; en identifiant les deux mcmbrcs de liquation (4), nous trouverons done q+ i Equations line"aires auxquelles les coefficients de A et de B devront satisfaire. Le polynome A contient p + i coefficients, de m&me que B; nous avons done 2,p + 2 inconnues. Si done #<2jt?-Hi, d'ou q > 2 m — 3, nous aurons plus d'inconnues que d'e*quations. Si gr^ajOH-I, <TOU ^ = 277Z— -3, nous aurons autant d'e'quations que d'inconnues. Si enfin nous aurons plus d'ikjuatlons que d'inconnues. Je dis que si q^zm — 3, on pourra satisfaire i la relation (4). En offcl, nous avons suppos^ que liquation F = o n'avait pas de racine double; il en i dP dF resulte que ^ et ^ ne peuvent s'annuler & la fois (sauf bien cntendu LES P£RIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 55 Supposons d'abord 2 = 2771 — 33 d'ou #=2/?H-I, p = 771 — 2. Nous avons alors autant d'equations que d'inconnues; nous pourrons done y satisfaire, pourvu que le determinant de ces Equations lin&iires ne soil pas nul. Mais si ce determinant etaitnul, on pourrait trouver deux polynonies G et D, homog&nes de degre jt?, tels que n clF ^dF C-7- -f-D-r- =0. dx ay ffCp ^/C1 x7I7 -T- > divisant le produit D -j- et etant premier avec -r- ? divisera D. Mais cela est absurde, puisque D est de degre/? = m — 2 et ^- de degr6 m — i. Done le determinant n'est pas nul. Done on pourra satisfaire a nos Equations et, par consequent, a la relation (4). Soit maintenant g^>2m — 3; alors H pourra se mettre djune infinite de mani&res sous la forme H==C1H14-G2H2j HI et H2 etant deux polynomes homogtoes de degre 2m — 3, Ci et G2 deux polynomes homogtocs de degre q — 2 m + 3. Alors HI et H2 pourront se mettre sous la forme (4)? de sorte que II vient alors H=.(GiAI-hG2A2)^-H(G1B1-hG2B2) — , de sorte que H est mis aussi sous la forme (4). Si enfin q < 2 m — 3, tous les polynomes H ne peuvent pas toe mis sous la forme (4), puisque le nombre des equations est plus grand que celui des inconnues. II y a y+ i polynomes H de degre q lineairement independants. Sur ces q + r polynomes, il y en aura au plus 2^ + 2 = 2^ — 2/72 + 4 que Ton pourra mettre sous la forme (4). 56 LES piRIODES DES INTE^RALES DOUBLES. Je dis qu'il y en aura prtcisdment ap H- 2; le contraire ne pourraiiarrivor cu effet que si un de ces polynomes pouvait elre mis sous la forme (4) do deux manieres dif&renles. Cela entrainerait une 6galil<5 de la forme Or, nous avons vu qu'une pareille t§galii<§ est impossible, si lo degr<5/> do C et de D est inferieur am — i . Done, si q<2m — 3, il y aura zq— 2 /w + 4 polynomes H do ilogro </, linSairement ind^pendants, que Ton pourra mettre sous la forme (4). Combien y a-t-il alors, parmi les polynomes de tons les degrds, de polynomes H non susceptibles d^tre mis sous la forme (4), lin<$aircmenl ind«Spcndanls entre eux et ind<5pendanls (Sgalement de ceux qui sont susceplibles d'filrc mis sous la forme (4) ? D'abord tous les polynomes de degr<5 2 m — 3 ou de degr<3sup^ricurpouvanl se mettre sous la forme (4), il nous resie (am — 3)(m — i) polynomes de degrg inferieur a am — 3. Parmi ceux-lA, il y en a 2 2 (/> -f- i ) qui peuvont 6 ire mis sous la forme (4). Sous le signe 2 le nombre JE? varie de o & m — 3. Done II reste done .(/n — i)2 polynomes qui ne peuvent pas 6lre mis sous la forme (4)- " Passage de la forme (4) a la forme (3) . Supposons done que H ait <5ic5 mis sous la forme (4)j il s'agil do le uuHlro sous la forme (3), Pour cela, remarquons que 1'on a •' ^-y- -f- V- 6te ^ Liquation (3) devient done Si done nou$ posons LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 67 on devra avoir A et B sont connus, il faut determiner Z, P et Q. Diflferentions la premiere des Equations (5) par rapport a #, la secondc par rapport a y et ajoutons, il viendra a? A dE Z 2Z i / dL dL\ __ ._ I ____ __ i ____, I ___ I /V» ___ - I nf ___ 1 . —f-. — - _ — — I— ...I — f— _- I ^ >^_ 1^ - -_ I • aa? ay 2 m m\ dx J dy ] Mais, en vertu du th^oreme des fonctions homog&nes, on a dL dZ On a done dx dy ce qui donne Z; Z £tant connu, les Equations (5) clonneront imm^diatement P etQ. Si done un polynome H peut £tre mis sous la forme (4), il peut <5galement <Hre mis sous la forme (3), de sorte que Ton a Une question subsidiaire se pose : un polynome homogtoe H peul-il ^tre mis de plusieurs mani^res sous la forme (3)? En d'autres termes, peut-on irouver deux polynomes homog^nes P et Q, tcls que (6) ^(PV/F)+|;(Q^F) = O. Liquation (6) admet une solution 6vidente. Soit S un polynome homog&iie de degr<3 p -H i — m = q H- 2 — 2 m. II est clair que liquation (6) sera satisfait'e si Ton fait H. P. — VIII. $g LES PERIGEES DES INT^GRALES DOUBLES. c'est-a-dire _ dS 3 G dV P= F^'H2S^' P dS 3~dF Q— -Fs-*-5sssr Cette solution n'existe que si p^m — i, (Toft #^2ra — 2. Je dis qu'il n'y en a pas d'autre. Si, en effet, P et Q satisfont a liquation (6), c'csL quo Q s/F das — P v/F dy = dT est une diflferentielle exacte. Posons done T ajant pour d£riv<5es des fonctions homogtoes, devra <Hrc cllo-m6mo unc fouc- tion homog&ae (a une constante prfes, que je puis supposer nulle). La fonction homogtoe T sera d'ailleurs de degr<5 p + ^ + i ; d'ou 2 Ainsi T est £gal £ \/F multiplies par un polynome eniier Q# — Py. Pour montrer que T = SF^5 d'ou Q# — Py = SF, il suffit de faire voir que Q# — Py est divisible par F. En effet on a ou Oil ce qui montre que F divise le produit -T- (Q# — Py). Comme liquation F = n'a pas de racine double, F est premier avec -T-- Done F divise Q# — C. O, F. D. LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 69 Exposants negatifs. Nous avons vu que le coefficient de xa yb tStait donn<5 par I'inUSgrale double — i fp dx dy gr-*—\.y—b—i Jusqu'ici nous avons suppose que a -f- 1 et b -f- i (Staieiit n<3gatifs, de telle facon qu'au num&rateur de la fonction sous le sigiie jf) les exposanls de x et dc y soient positifs. Ne nous imposons plus cette restriction. II est clair d'abord que le cas ou un de ces exposants esi n^gatif, et celui ou ils le sont tons les deux, se ram&ne ais(5ment a celui ou ils sont tous deux posilifs. Supposons, par exemple, que nous poserons „-, d'ou I (a/7 y} 6ianL un polynome entier en x1 ety; I'int^grale devient alors dsc'dy ,?+«-' . 1 ,. J * y — o—l ^ ' et Ton voit que les exposants de of et de y sont positifs, au moins si m^4- On doit done s'attendre a retrouver une thtforie analogue a celle quipr<5cfede. Mais il vaut mieux la refaire directement. II s'agit de trouver les relations de la forme ou H n'esL plus un polynome entier en x et/, mais un polynome entier en x, 7, I eti? ou, si Ton pr^fere, un polynome entier en x et y, divis6 par une puissance de x et par une puissance de y. Nous aurons encore si P ct Q sont des polynomes entiers en a?, y, -» - * 6o LES PERJODES DES INTEGRALES DOUBLES. II s'agit done de voir si Ton peut mettre H sous la formu <«•*> *- ou encore sous la forme A et B etant, comme H, P el Q des polynomes cnticrs en x, y, - et -• Nous continuerons a supposer quo F, H, P, Q, A, B soul homog&nes onff ol y el que liquation F = o n'a pas de racine double. Nous pourrons alors 6crire a et |3 tftant des entiers positifs ou nggatifs et HA un polyiiome cnlior cu x eiy. Si alors on peut mettre HI sous la forme- (4) „ . dF - dF Hl=Ala?+Bt^ (ce qui arrivera toujours si le degr6 de HI n'est pas plus petit que 2 in — 3), on pourra mettre H sous la forme (4 bis) Mais il est ais6 de comprendre qu'un polynome H quelcojique pout toujours se mettre sous la forme le degr& de H4 etant au moms egal hzm — 3. Car on peut, sans changer II, multiplier HA par yfr (p etant arbitraire),-£ condition de changer a en a — /*. D'oii cette consequence : Unpolynome H quelconque peut toujours se mettre sous la forme (4 bis). Comment maintenant passer de la forme (4-6w) a la forme (3 bis}} un calcul tout a fait analogue & celui qui prdcdde montrerait que A, B, P et Q sont lit par les Equations I Z===S^^' (5 bis) * P LES PERIODES DBS INTEGRALES DOUBLES. 6 1 On en deduirait dx dy ~~ \2 771 / De cette equation, on tirera Z et, par consequent, P et Q, a moins quo (7) l^1^-0' Cela montre que, si Pegalite (7) n'a pas lieu, le polynome H peut se mctlrc sous la forme (3 bis) et, par consequent, que la relation ( i bis) a lieu. D'ou cette consequence : le coefficient de xayb dans le developpement est mil, a moins que Ton ait Mais q a= m -f- p — 1= — a — b — ?. La relation (7) peut done s'ecrire Le developpement de -J~ ne contiendra done que des lermes tels que la V/F sommc a + b soit ^gale a • Ce rgsultat etait evident d'avance; c'est une consequence immediate de Fhomogeneite de la fonction -p • VF Mais nous n'avons pas a regretter de Tavoir retrouve par une voie detournee; car les equations intermediaires que nous avons obtenues chemin faisant nous seront necessaires dans la suite. Mais poursuivons et supposons que la relation (7) ait lieu. Alors les equations (5 bis) entraineront dA dE w a*;1-^-0- Ainsi, pour que H "puisse se mettre sous la forme (3 bis), il ne suffitplus qu'il puisse se mettre sous la forme (4&w)j ^ ^aut ^nc°r6 que la relation (8) ait lieu. Cette condition est d'ailleurs suffisante. Car alors, en faisant 52 LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES. on satisfait aux Equations (5 bis). J'ajoute mtoe qu'on pent satisfairc 4 cos Equations (5 bis) d'une infinite de manures, car la fonction Zpeut dlro choisie arbitrairement. Nous sommes done amends a nous poser la question suivanic : Peut-on mettre H sous la forme (%bis) et cola do lollo facon quo la relation (8) ait lieu? La relation (8) montre que est une diflferentielle exacte; on aura done ~~~ ~dx* ~~ dy et, en vortu du th£or£me des fonctions homog&nes, U est done un polynome en #, y, ^ et -; il est liomog&nc et de degr<5 /> -4- i ena?et j. Liquation (4 to) devient alors d\J et nous avons a rechercher si Ton pent mettre H sous la forme (9). Soit U V ^tant un polynome entier et homog&ne d'ordre h en x et eny, a et (3 tilnnl deux entiers positifs; on devra done avoir Quant £ Hj il sera de la forme ( 10) H = * R 6tant un polynome entier en x et y , homogtoe de degr<^ h + in. Le polynome R comprend h-t-m + i coefficients et le polynome U n'cn eontient que k + i. Quand nous voudrons mettre H sous la forme (9), nous n'aurons done quo k + i inconnues pour satisfaire a h •+ m -+- 1 Equations lin^aires. LES P^RIODES DES INT^GRALES DOUBLES. 63 Des h -{- m + i polynomes H de la forme (10) qui sont lin&urement indt*- pendants, il y en aura au plus h + i que Ton pourra mettre sous la forme (g). Je dis qu'il y en aura pr£cis<3ment h -f- 1 ; le conlraire ne pourrait arriver en effet que si Fun de ces polynomes pouvait se metlre de deux mani&res diflfe- rcnles sous la forme (9) : H _ dF dU __ dF dV _ ^F dW dF dUf dx dy dy dx ~~ dx dy dy dx ' d'ou dF d([j — U') dF ^(U — U') _ dy dx dx dy "~~ Cettc Equation exprime que U — U; est fonclion de F. Mais F csl homog&nc de degr(5 m et U — U' homog&ne de 771 2 On devrait done avoir Gela est impossible, puisque U — U' doil toe rationnel. Done cette circonsiance ne pourra se presenter. Done il y aura pr£cis6ment h + i polynomes ind6pendants qu'on pourra mettre sous la forme (9). II y en aura m qui ne pourront se mettre sous cette forme et qui seront lin&xirement ind^pendants entre eux et avec ceux qui peuvent se mettre sous la forme (9). Mais le nombre h pent £tre pris aussi grand que Ton veut. Nous arrivons done & la conclusion suivante : Parmi tous les polynomes H, en nombre infini, il n'y en a que m qui ne peuvent se mettre sous la forme (9) et qui soient lin^airement ind6pendants entre eux et avec ceux qui peuvent se mettre sous la forme (9). Ou bien encore : Les coefficients du d^veloppement de — sont des fonctions transcendantes VF des coefficients de F. Mais toules ces transcendantes ne sont pas distinctes entre clles. II y a en tout seulement m transcendantes distinctes. LES P^RIODES DBS INTfcjRALES DOUBLES. Deuxieme cas ; cas general. Supposons quo F soil un polynome cnlicr dc degre ?n, 71011 homogene <ui x et en y. Nous <5crirons en deSsignant par Fk Fcnsemble cles termes liomog&ncs cl cFordre k on x <»t en j. Nous supposerons que liquation Fm = o n'a pas de racinc multiple. Nous uu supposerons plus, sauf avis contraire, que les polynomcs H, P, Q, . . . soul. homog&nes. II s'agit de determiner les relations de la forme (i) ou ( i bis)', je vais commencer par tStudier .exclusivement les relations de la forme ( i). Je snppo- serai done que H, P et Q sont des polynomes entiers (homogtoos ou non) on a1 et y] je me propose de chercher quels sont les polynomes H qui pen vent so mettre sous la forme (3). Soit g IQ degr<5 de H; £crivons H = H^r-h H^r— 1 •+- . . ,-f- Hfl) H/; repr^sentant Tensemble des termes homogtoes et d'ordro /r. Comme H^ et FTO sont homog^nes, comme Fm = o n'a pas dc racine mullipl^, nous pourrons toujours trouver deux polynomes Pyj et Q,, homog6ncs d'ordni p = g — m-*ri et tels que _dPp i dFm H^= TE *"+ 2 "35- Cela sera toujours possible, comme nous 1'avons vu, A la condition quo q^ 2 m — 3, Soit maintenant H'=^Fn-I^P,+ ^F^I^Qp. ' dx 2 dx p dy 2 dy ^p Le polynome H7, qui peut se mettre sous la forme (3), ne sera plus homo- g^ne, mais il sera de degr<§ g et Fensemble des termes de degrg g sera pr(§cisd- inent H?, de sorte qne le polynome H — B7 sera de degr^ g — i. Ainsi, si 3^2 m — 3, on pourra regarder H comme la sonime de deux poly- LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 65 nomes, Fun susceptible d'toe mis sous la forme (3) et 1'autre de degre moindre. Le degre' peut toe ainsi abaisse' jusqu'a 2 in — 4- Mais il n'y a quo (2 w — 3) (m — i ) polynomes lingairement indgpendants d'ordre 2 m — 4- II y aura done au plus (2 m — 3)(m — i) polynomes iion susceptibles d'etre mis sous la forme (3), lin^airement inde'pendants entre eux et de ceux qu'on peut mettre sous la forme (3). Mais ce nombre peut encore toe abaisse. Soient P" et Q" deux polynomes quelconques d'ordre 7?? — 3 an plus, cl soit dx 2 dec dy 11 esL clair que IF sera d'ordre 2 m — 4 au plus. Or il y a - - — - - polynomes d'ordre m — 3; done nous pourrons Lrouver - - — - ' polynomes P et autant de polynomes Q. Nous pourrons done former (m — 2) (m — i) polynomes EF; je dis qu'ils seront lin^airement ind^pendants. S'ils ne T^taient pas, en effet, c'est qu'on pourrait trouver deux polynomes Pv et Q/;, d'ordre m — 3 au plus et tels que . dy 2 dy ^' Soit p le degre* de celui de ces deux polynomes dont le degrg est le plus ; nous aurons — 3. SoienL P'^, Q"p 1'ensemble des Lermes de degr<* p de P" ct de Q7/. P"p et Q^ no pourront toe identiquement nuls Lous les deux. On devrait avoir _ j. 77i ^r^ — ; * n ^^ » dx 2 dx p dy ou bien dy 1 J dy L a ' m\dx dy H. P* - VIII. 9 6g LES PERtODES DES INTEGRALES DOUBLES. Comme ^ et — Sont premiers entre eux, cela ne pourrait avoir lieu que si dx dy ?^(S + f*) aait divisible par w et 2 r /n j- • -ui '» Z ( rfl£ -H -7^ 1 divisible par — — m\dx dy / r dx Mais ^!-^et^-^ elant d'ordre m — i no peuvenL divisor deux polynomos dx dy d'ordre plus petit. Done la relation (is bis) ne pourrait avoir lieu quo si Ton a va i I dx dy En differentiant la premiere Equation par rapport a #, la sccondc par rapport a j, et ajoutant, en tenant compte du th^oreme des fonclions homog&ncs on trouve d'ou ce qui est impossible, puisque P^ et Q^, ne peuvent s'annuler a la Ibis. Les relations ( 1 1 ) et (12) sont done impossibles. Les (m — 2,)(m — i) poljnomes H" sont distincts . II y a done au plus (2 m — 3 ) ( m — i) — ( m — ii ) ( in — r) = ( in — - 1)2 poljnomes H qui ne peuvent 6tre mis sous la forme (3) et qui sont indepen- dants entre eux et de ceux qui sont de la forme (3). Ge nombre peut-il 6tre rgduit davantage ? En d'autres termes, existe-t-il des polynomes d'ordre 2 m — 4? 'ftutres quo les polynomes H'7, et susceptibles d'etre mis sous la forme (3) ? Soit H un de ces polynomes et soit i dF dQ i TT JHL ss --r— Jt< -j -- -=— Jr H — ~ r -4- -- T~ v- dx 2 dx dy 2 dy x Soit p le degr<5 de P et de Q; on devra avoir />> m — 3, sans quoi H scrail un des polynomes IF. LES PER10DES DBS INlicRALES DOUBLES. 67 Gomme H csl supposed de degnS 2 m — 4? los termes de degre > 2 m — 4 devront disparaitrc dans le second membre, en particulicr les lermes de r£ p-\~m — i . On aura done dP ou bien ou bien T <5lant une fonclion de x el j" homog^ne de degre p -f- - — j- i . Le lh£or£me des fonclions homog^nes donnera On verrait, comme plus haul dans l'6tude de liquation (6), que est divisible par Fm. On aura done S ^tant un polynome homog^ne de degr6/> + i On aura alors dx d'ou Or on a P' el Q' ^lant des polynomes de degrd p dont les termes d'ordrej? sonl ment Pp el Q/,. 11 vienl 68 LES Pl&IODES DBS INT*GRALES DOUBLES. ce qui montre que les polynomes P CL Q peuvenl (Hre remplactfs par ies poljr- nomes P — P' et Q — Q', qui sonl de degre moindrc. Done le degr^ des polynomes P et Q poul toujours Sire abaissc el coin jusqu'a m — 3, de telle facon que H n'esL autre chose qu'un polynome IV. II y a done pnJcistoent (w— i)9 polynomes dwfc/wto non susccpliUcs d'toe ramen^s a la forme (3). Les coefficients du dSveloppemoni ou les exposaiits — a — i oi — b — i soul positifs dependent done au plus de (m-— i)2 Iranscendanles. Exposants negatifs. II est facile d'etendre ces requitals & Felude dos relations de la forme ( i bis}. Supposons done que H, P et Q soient des polynomes cniicrs, non plus en $ ety, mais en x, y, ~ el y Nous poserons alors H7 P' Q' OIL a et P sont des entiers positifs eL H', P', QT des polynomes enliers en $ etj. Les valours des entiers positifs a et (3 seront regarddos comme fixes, mais pourront d'ailleurs toe prises aussi grandes qu'on voudra. Jc d(5signerai Lou- jours par q le degr<3 de H, c'est-a-dire le degr(5 des termes de H dont le degrd d'homog^n(5ite5 en x et en y sera le plus £lev£. Je dgsignerai de mdme par/? le degr6 de P et de Q* Je repr(5senterai par H? Pensemble des termes de degrtS q dell, par P^ eL Q^ Fensemble des termes de degr6p de P et de Q. Je dgsignerai par qr le degr6 de H;, par/)' celui de P' et de Q', de sorte qu'on aura 0'ss gr-^a-hp-f-a, y =:/?-+- a-hp -HI, d'ou qrzszp'-\-m. Les termes du degr6 le plus (SlevtS de H;? P7 et Q7 seront alors On tire de 1A W, »_ LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 69 Posons-nous inaintenant le probleme suivant : Existe-t-il deux polynomes P" et Q" entiers et homog&nes en x et y et tels que Ton ail d QVF La relation ( i5) pent s'c^crire H,^ on posanl, pour abr^ger, . Nous dcvons d'abord nous demander si Ton peut mettre Hf/ sous la forme analogue & la forme (4)- Dans cetie Equation, A et B sont des polynomes entiers el homogSnes en x et y clont le degr<5 est evidemment//. Nous supposerons, pour eviter toutc difficult^, non seulement que Fequation Fm=o n'a pas de raciiie multiple, mais que —7^ n'ost pas divisible par #, ni 7TT1 y-7I7 /"/P -y^ pary. Dans ces conditions, x—j^ et y— —^ sont premiers entre eux. En raisonnant alors comme sur Fequation (4), on verrait que Ton peut toujours meLtrc Hr/ sous la forme (16), ponrvu que q' ^ 2 m — i . Une fois Hy mis sous la forme (16), nous determinerons P" et Q" a 1'aide des Equations A d'ou Ton d(5duit ^A ^f-7 — ^y-j -- — - dx J dy ' \2 On tirera de la Z et, par consequent, Pv et Q", & moins que Ton ait 1 p -hi -4-£ - = 0. 2 m Done, Hry pourra toujours se mettre sous la forme (i5), pourvu que 70 LES P^RIODES DES INT^GRALES DOUBLES. Si la relation (17) 6 tait satisfaite, on verrait, comme a propos dc la discussion de liquation (8), que, parmi les polynomes lifJ^+iy^'L de degrtf il n'y en a que m qui soient dislincts eL non susceplibles d'etre mis sous la forme (i5). Posons maintenant d Le polynome H" ainsi dtSfini est de la forme (i4); ses Lermes du degrti lo plus sont HqxP+tyP**, puisque P" eL Q" sont d<5finis par la relation (i5). Done H7 — H" est de degr^ cf — i; done H7 est la somme de deux polynomes, Tun R" de la forme (i4)9 1'autre H; — H" de degr(5 moindre, Le dogr^ do II pout done toe rgduit, a moins qu'il ne soil, plus petit quo a/n — i, ou <Sgal De plus, parmi les polynomes de degr£ a H- (3 •+- --> il n'y en aura quo m rtSellement distincts et dont le degr<£ ne pourra £tre r(5duit (la reduction, une fois 1'gtape a + (3 + ~ franchie, pourra 6tre pouss^e sans obstacle jusqu'u am II n'y a done que m polynomes r^cllement distincts, de degrci plus grand que am — 2 et non susceptibles d'etre mis sous la forme (i4)- Comme le nombre des polynomes de degr<3 am — 2 est tfgal a m(%m — i), nous pouvons conclure qu'il y a au plus 2/n2 polynomes distincts qui no peuvent se mettre sous la forme (i4)- Mais ce nombre peut encore 6 Ire rtiduil; et, en eJSTet, il y a des polynomes de degr<5 zm — 2 qui peuvent se mettre sous la forme (14) ; on les obtient en prenant pour P' et Q' des polynomes quelconqucs de degr6 m—z. Or il y a ~(m — i) polynomes P; et autant de polynomes de degrg m — 2. Cela fera done m2 — m polynomes de degrti m — 2 et de la forme (i4)« Je dis qu'ils sont tous lin^airement ind^pendants. Si, en effetj ils ne 1'gtaient pas, on pourrait trouvcr deux polynomes d'ordre m — 2, tels que LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 71 ou en appelant P'7 et Q" les termes d'ordre le plus eleve de P7 et dc Q; d Cette Equation csl. do m£me forme quo (10) (satif quo H,y esL mil); elle entrainerait done . d¥ ^ dF -i — -}— = o. dx J dx ' ou /puisque A el B sont d'ordro inferieur a ;?2 elanl du m^me ordre que P;/ fJTP ./-/FT \ ou Q;/ et que, d'autre part, &-r~ el J'^r: ,sont' premiers enlre eux J A = o, B = o, ce qui entrainc P"=:Q"=:.0 a moins que la relation (17) n'aitlieu; or nous pouvons toujours supposer le contraire, puisqu'elle entrainerait / r, in ?=«-+•?-- H-I; que Ton a, d'ailleurs, p' ^. m — 2 et que Ton peut supposer a et (3 aussi grands que 1'on veut . II faudrait done que P" et Qf/ fussent mils; et, comme ce sont les termes du degnS le plus ^Iev6 de P' et de Q7, il faudrait que P7 et Q7 fussent nuls. * — m polynomes sont done Hn^airement ind^pendants. II reste done 2/7Z2 — (m*— m) polynomes rgellement distincts et non susceptibles de se mettre sous la forme (i4)- Gomme cela a lieu, quelque grands que soient a et (3, nous conclurons que nos coefficients dependent au plus de ma+ m transcendantes distinctes. Ce nombre peut-il encore £tre r^duit? Voici comment la question se pose : Nous avons trouvg qu*un certain nombre de polynomes en #, y, -> - de la forme H' ^2 LES PE"RIODES DES INT1&GRALES DOUBLES. ou H' est un polynome d'ordre qf en x el y, pourraicnl £trc mis sous la forme (3 few), et cela de telle facon que p/ et Q/ £tant des polynomes d'ordre/?' = ^ — ra en x et en j. Quand un polynome H pourra se me lire sous la forme (3 bis), etcclo. de lello fagon que P et Q soient de la forme (19), je dirai, pour abrgger, quo H pcul so mettre sous la forme (3 ter}. L'analyse qui precede monire que certains polynomcs de la forme (18) peuvent se mettre sous la forme (3 ter}\ elle monire en mtoic Lemps qu'il n?y en a pas d'autres. Ce qu'il nous reste a voir, c7esl si certains polynornes nc pourraicnl fiLro in is sous la forme (3 bis} sans pouvoir <Hrc mis sous la forme (3 ter). On aurait done et Ton pourrait 3crire Le polynome H pourrait ainsi se mettre sous la forme (3 bis), mais, pour quo cette forme nc se confonde pas avec la forme (3 ter), il faut : i° Ou bien que a soit plus grand que a; 2° Ou bien que b soit plus grand que (3; 3° Ou bien enfin que le degr6 // des polynomes P' et Q' soit plus grand que ql — m. Nous pourrons, d'ailleurs, toujours supposer a ^ a, b ^ (3. Je dis d'abord que? si a > a, a pent e;tre diminud d'une unil<5. On a en effet Le premier membre 6tant divisible par x, il doit en etre de m£me du second. Done ori aura pour x = o LES P£RIODES DBS INTEGRALES DOUBLES. 73 Nous supposerons que, pour #~o, le polynome F est premier avec le 7p polynome y-j-* Cette Equation nous montre alors que, pour #~o, Q' est divisible par F ; soil done Cette £galit£ ayant lieu seulement pour x = o? U sera un polynome entier Qny. Posons maintenant d'oil ct F = d f UF*\ Q'V'F = a? /UF« \ d-Hl ^7 \ iCa76 / ' a;a+lj6 ~" cto y xn y*> ) ' rf ( P"V/F ~di \ x«y*>^ ce qui rnontre que pour 5?=:o, on a Qr/=Q;, et par consequent, a cause de (20), P*=F. Done les deux polynomes F— P", Qf— Q" sont divisibles par x* Mais a cause de (21) on aura H = d (F-P7/)y/F d (Q7— Q")s/F[ i/F ^^ jjrtyiH-l ^v #flH-l y6 Comme P' — P//r et Q' — Qy sont divisibles par #, on voit que la valeur de a se trouve abaiss^e d'une unit<3. c. Q. F. D. On d^montrerait de m6me que b peut &tre abaisst5 d'une unitg s'il est plus grand que (3. Je dis maintenant que p1 peut 6tre abaiss6 d'une unit£ s'il est plus grand que q1 — m. Je n'ai presque rien a changer £ la demonstration analogue de la fin du paragraphs precedent. Soient Pf/ et Qf/ les termes du degr^ le plus 3lev6 de P7 et de Q', on devrait avoir H. P. ~ VIII. , LES PERIODES DBS INT^GRALES DOUBLES. ou bien fil^.sH, p°^ fH, #«•+•! y£ ok? asttyb+* dy ou 6tant le degrg d'homog6n£it£ dc T ; d'ou Cette Equation, que Ton peut multiplier par xa+l yb> montre que ((y_. p*)^" est divisible par Fm; et, comme #-^r~est premier avec Fm, que Q" — P", es divisible par Fm. Soit ^ ~~~ * — - ^* m* Nous poserons Qwy/F __ ^ SF^" Pwy/F _ ^ On en conclut : t° Que Q/;/ et P'" ont m^mes termes dc degr£ le plus <5lev(5 que Q" et P/; de facon que les polynomes P;' — P'"7 Qf/ — Qw sont de degrg moindre; a° que _rf_ Pw y/F _£^ Q^y/F _ dx xayb-t-l "*" <^ d'ou enfin J^^^ (P"~P'")y/F ./p ^/a? g*a-yb-*-\ On voit que le degrg des polynomes a 616 abaiss^. c. Q. F. La demonstration se trouverait en d^faut si Ton avait ou LES PERIODES DES INT&GRALES DOUBLES. 76 OU m - Dans cc cas on Irouve simplement Q"=P". Nous no pouvons done plus affinnor quo T soil de la forme T I = ou S est un polynome; iii meme que T ne soit pas transcendant. La discussion faite plus haul a propos du cas ou F <3tait suppose* homogene nous a me"mc montre quo parmi les integrates de la forme = rP'VFm/afr dx\ J x*y*> \y X ) ' OLI P" esl un polynome homogene d'ordre a -+- b ; que parmi ces inte"grales, dis-je, il y en a qui sont transcendantes et qui sont des combinaisons line"aires de m transcendantes distinctes. Parmi les polynomes P" il y en a done m, distincts entre eux, et qui peuvent ainsi donner naissance a des transcendantes. Supposons cependant que 1'inte'- QT7 * grale T ne soit pas Lranscendante. Je dis qu'elle sera de la forme a mb • Pour x y nous en rendre compte, regardons un instant y comme une constante et d^veloppons suivant les puissances de x — XQ, #o (Stant unc valeur quelconque de x. Si a?0 n'est pas nul et si (x — a?0) n'annule par Fm) la quantity sous le signe I ne contiendra que des puissances entieres et positives de x — x$ ; il en dT sera done de mdme de T; si XQ n'est pas nul, ^— ne contiendra que des puissances positives entieres et impaires de \Jx — XQ. Cela montre que T est (5gal a une fonction T0 de y, plus une fonction de x et de y, changeant de ft Jrv\ signe avec \/x — x0 et divisible par (x — x0)J. Comme -r- doit changer de dy signe avec \Jx — ^?o5 nous voyons que la fonction To de y doit se re*duire & une consiante que nous pouvons laisser de ctite'; de sorte que finalement cette 75 LES PfiRIODES DES INliGRALES DOUBLES. fonction ne contient (# — tfof qu'A des puissances impaires ct au moms <2gales a 3. a La conclusion, c'est que T est divisible par F*, puisquc -y no devionl pas infini pour x = #o ? on a done et il nous resie a montrer que ^ et v sonl prdcisgment ggaux a a el 6. Pour cola c/T d^veloppons suivant les puissances croissantes de x\ le ddvcloppcmeni do -^- commencant par un terme en or"-1 el celui de -g- par un lormc on ar" ; celui de T devra commencer par un terme en x~a] d'oij a = jn. c. Q. F, D. i Comme T est de la forme -^-^j le resle du raisonnement so poursuivi'niL comme plus haul et le degr^ des polynomes ne peul 6tro abaissd. Nous n'avons done £ nous occuper que des m iranscendanlos T el dos in polynomes P/; correspondant. Soil P7/= Q" Tun de ces polynomes; tScrivons H=^ dx Nous aurons form^ un polynome H qui peut se mellrc sous la fonno (3 je dis qu'il ne peut se meilre sous la forme (3 ter}. Si, on offel, il pouvail s<^ mettre sous la forme (3 ter}, on pourrail irouver deux polynomes P; ct Q' donl les termes de degrg le plus dev<3 sont fff el Qr/= Pr/ el qui seraienl lels quo d / Pry/F \ d t Q7y/F \ Cela voudrait dire qu'il existerait une int(5grale de diff&rentielle totalo " /qdx P'dy\t '\ * ~T) Cette integrate devrait 3tre transcendante et admettre des pgriodes cycliqucs, puisque, pour a? et y tr&s grands, elle se rgduirait sensiblement & rW^fdx dy\ J xayt> \oc y J LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 77 qui est, par hypoth&se, Tune de . iios m transcendaiites et qui admet des p<5riodes cycliques. Mais il est absurde dc supposer quo 1'integrale T admeite des p^riodes cjcliques. Elle ne pourrait en avoir, en effel, que si la surface *2=F admeLtait des cycles lineaires. Nous verrons plus loin qu'elle n'en admet pas, si le polynome F est indecomposable, ce qui est le cas general. Done I'hypothfcse faite au debut giait absurde et iios polynomes ne peuvenL se mettrc sous la forme (3 ter). II y a done in polynomes qui peuvenL se mettre sous la forme (3 bis), sans pouvoir se mettre sous la forme (3 ter) et il n'y en a que m. II nous restait m*-\-m polynomes distincts ne pouvant se mettre sous la forme (3 ter)', il restera done ;?z2 polynomes distincts ne pouvant se mettre sous la forme (3 bis). Ge nombre ne pent plus &tre r^duit, au "moms dans le cas Done les coefficients du d<5veloppement de -r= dependent au plus de trans cendantes distinctes. Autre demonstration, On pourrait encore raisonner comme il suit : Donnons-nous la valeur de qf et choisissons-la de fagon que la relation (17) n'ait pas lieu. Alors nous pourrons affirmer que tout polynome qui peut se mettre sous la forme (3 bis) peut aussi se mettre sous la forme (3 ter). II y a iff.."*"1^ "*"2^ polynomes de degrg qf. Les polynomes P' et Q7 sont de II y aura done ^ "HIKP '+'2! polynomes P' et autant de polynomes Q'. Nous pourrons done former (pr+i)(pr+%) combinaisons de la forme (3 ter). Mais nous devons observer que toutes ces combinaisons ne sont pas distinctes; combien y aura-t-il de relations entre elles? Pour former toutes ces relations, nous n'avons qu'a rechercher toutes les identit^s de la forme 0- ' g LES PERIODES DBS INliCRALES DOUBLES. cette identite" montre que __ /- y/F (Qdx ¥' dy\ T=V x«yb \ x y ) esl une integrate de difFerentielle Loialc. Je dis que ceite integrate ne pcul Gtre transcend ante. En cffet, si cllo <Hail transcendante, il faudrail qu'elle cut, soil dcs p«Sriodcs cycliques, soil dcs pgriodes polaires. J'appello periode cy clique celie que Ton oblienl quand lo point ff, y dcJcril un contour ferm6 (cycle linfeire) (ce contour ferine" ne pouvanl, par deformation continue, <Hre ramene a un contour iiifmiment petit sans passer par un point singulier). J'appelle periods polaire cello que Ton obtient quand lo point a?, y ddcril un contour ferme" infimment petit autour d'un point pour lequel la fonction sous le signe I devient infinie. 11 n'y a pas de p^riode cy clique. El, en efTet, un cycle limSaire, s'il existait, pourrait loujours 6tre ddcomposd en cycles 6l£mentaires formes cliacun d'un double lacet entourant deux points de la courbe F(#, j) = o; tel est le double lacet qui, cnvcloppanl Ics deux points ± i , d^finit Fune des p(5riodes de Fint^gralc Mais si la courbe F;(#, y} = o est indecomposable, ce que nous supposerons, les deux points de cette courbe enveloppe's par le double lacet peuvcnl s'^changer et se confondre, de sorte que le lacet devienl infinimcnt petit. II n'y a done pas dc cycle Impair e. II n'y a pas non plus de p&riode polaire. En effet, la fonction sous le signe I ne devient infinie quo pour x = o et pour y = o. dT D^veloppous suivant les puissances de #; le d(5veloppement de -T- se prtSsentcra sous la forme 2^' °^ ^ est une f°ncti°n dey; consid^rons en particulier le A terme -~ •; c'est C6|lui-la qui, par integration, pourrait introduire la transcen- dante 1 Mai pas, c'est que -^=± o, c?est-a-dire que AI est une constante. 1 Mais alors il y aurait dans -- le terme La? -> et comme ce terme n'existc LES PERIODES DES 1NTEGRALES DOUBLES. 79 Mais, d'autre part, AI doit changer de signe avec \/F. Done, At est nul. Nous n'aurons done ni la transcendanle L#, ni pour la m6me raison la transcendante Lj. Done 1'int^grale T est alg6brique. Consid<5rons maintenant y commc unc conslantc et soil %Q une valeur quelconque de #. Si cette valeur n'annule pas F, nous verrons, comme plus haul, que T est d^veloppable suivant les puissances de x — x§\ si cette valeur £ annuleF, nous verrons comme plus haul que T est divisible par (x — #o)~. z Nous conclurons de lout cela que T est divisible par F2, ei nous <3crirons S 6tant un polynome. On verrait, comme plus haut} que £i = a, v ass b} ce qui donne On voit que S est un polynome de degr^i// — m. II y aura autant de relations (22) que de polynomes S; c'est-a-dire (// — rn -+• x) (pr — m -+- 2) 2 II y a done combinaisons distinctes de la forme (3 ter}, et polynomes distincts non susceptibles d'etre mis sous la forme (3 bis). C. Q. F. D. Gas des racines multiples. Dans Texpos^ qui pr£c&de, nous avons fait diverses hypotheses; nous avons suppos6 entre autres choses que liquation F^^o n'avait pas de racines multiples. 8o LES PlRIODES DES INT^GRALES DOUBLES. Mais tomes ces hypotheses n'avaient pas pour effet de restrcindrc la gen^ralite. C'est ainsi que le cas ou liquation a dcs racines multiples csl un cas particulier de celui ou elle n'en a pas. Mais, dans le cas gtodral, il y a ciitre les coefficients du dcSveloppemenl de JL un certain nombre de relations lin^aires. V/F Le passage a la limite suffirait pour monlrer qu'il y en a au moms aulanl dans un cas particulier quelconquc. Lcs coefficients dependent, dans le cas general, <Tun certain nombre do Iranscendantes distincles; dans les diff&rents cas parlicuiiers, ce nombre pent diminuer, mais il ne pent jamais augmenler. Nous avons vu qu'il yam2 polynomes distincts non susceptibles do sc motlrc sous la forme (3 bis}\ il y en aura au plus m* dans les cas parliculiers* La discussion de chaque cas particulier serail sans doute int^ressanle, mais je me bornerai aux cas qui se pr£sentent en Astronomic. Application a la fonction perturbatrice. Nous avons pos<5 dans Fintroduction e*«=#, eiu' •=* yt u et ur <§tant les deux anomalies excentriques. Alors les coordonn^es de la premi&re plan^te sonL de la forme £i tandis que celles de la seconde sont de la forme Le carr^ de la distance des deux planfetes D2 sera done un polyuome du deuxi&me degr^ en 5?, y, - et -• C'est ce polynome que j'appellerai d^sormais F(#, /); il contiendra des termes en. Je poserai aussi quelquefois x* et F'(o7, y) sera un polynome entier en x et 7 LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 8 1 Pour avoir le coefficient de #2, il suffit de donner a u une valeur dont la partie imaginaire est negative et tr£s grande, u' conservant une valeur finie. Alors la distance D est sensiblement <3gale a la distance de la premiere plan&tc a Forigine, c'est-a-dire a / \ / ex e \ a(i — e QOSU) = a ( i ---- ) V 2 2#/ ou sensiblement — • - • 2 Le coefficient de a?2 est done — — , a £tant le grand axe et e l'excentricit<3. La m6me analyse montre que le coefficient de or"5* est le m£me. De mdme les coefficients de y'2 et y~'2 sont tous deux £gaux a a ' f " > a1 et ef £lant le grand axe et Fexcentricit6 de la seconde plan&te. • Pour trouver le coefficient de xy observons que, si les parties imaginaires de u et de uf sont toutes deux negatives et tr&s grandes, chacune des plan&tes se trouvera sur 1'ellipse qu'elle d^crit en un point tr&s ^loign^ de 1'origine. Si done nous appelons X Tangle de 1'asymptote ( imaginaire ) a 1'une de ces ellipses avec Tasymptote de Tautre ellipse, le coefficient de zxy sera aea'e' , - ; - COS A. 4 L'angle A est toujours imaginaire et cosX plus grand que i s'il est r£el. Gomme chaque ellipse a deux asymptotes, nous avons quatre angles \ qui correspondent aux coefficients de L'angle X ne peut 6tre ^gal ni a o, ni a TT, puisque les asymptotes sont imaginaires et situ^es dans deux plans r£els diflferents. Les termes du second degr6 de F(a?7 y) ne peuvent done se r^duire a un carr^ parfait. Si Tune des excentricit6s est nulle, e par exemple, les termes en x~ et a?~2 disparaissent; mais le terme en xy ne disparait pas, bien que son coefficient ae a' e' cos A contienne e en facteur, parce que cos A devient infini. Quant a F'(#, y) =^2y2F(a?, y)y c?est un polynome du sixi&me g^n^ralement indecomposable. La courbe H. P. — VIII. g2 L£S PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. est une courbe du sixitoe degni, avec un point double a Torigino eulouxpoiuls doubles £ rinfini, Cette courbe se decompose dans deux cas : !' Si rinclinaison est nulle, elle se decompose alors en deux courbcs du troisieme degre' ,' a° Si les deux excentricite's sont nulles, elle a alors pour composanles les deux axes de coordonne'es et une courbe du quatrieme degre" avcc deux points doubles a Finfini. Alors F(#, y) admet des Lermes en Mais, de plus, le polyncwme prgsente une syme'trie particuli^re. tl ne change pas quand on permute x et y, ni quand on change x en - Je n'examinerai dans la suite que le cas gtotod el celui ou les deux excentricite's sont nulles, Bien d'autres cas particuliers m^riteraient quelque attention : celui ou Finclinaison est nulle, celui ou les deux grands axes coincident entre eux eL avec 1'intersection des plans des orbites, celui ou ces deux plans so cotipcul a angle droit et ou leur intersection coincide avec le grand axe de Tune des deux orbites, etc. Integrates de differentielles totales. II parait n^cessaire de revenir sur la demonstration que j'ai donn^e de ce fail que les integrates de diflferentielles totales dependant de \/F ne peuvont 6tre transcendantes, afin de voir si elle s'applique aux cas particuliers que je veux maintenant ^tudier en detail. Quand M. Picard a annonc^, pour la premiere fois, que la surface la plus ggn^rale de son degre' ne poss&de pas de cycle lin^aire, ce fait a caus<3 un grand gtonnement. On sera moins 6tonn^ maintenant que la surface n'en possede pas non plus quand le polynome F est indecomposable. Revenons sur la demonstration. Soit A un point sinsrulier auelconcrue. LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. S3 c'esl-a-dire un ensemble de valeurs complexes de x et de y qui annuleF{#3 y). J'appellerai lacet un chemin d'integration compost comme il suit. On prendra pour point de depart un point quelconque O non singulier, choisi comme origine de tous les lacets. On ira de O a un point A' infiniment voisin de A en suivant un chemin quelconque; on decrira un contour infiniment petit cnveloppant le point A, de facon a revenir au point A', et Ton reviendra de A' en O par le mtoie chemin. Le lacet sera dit rectiligne si le chemin OA' est rectiligne. Je represented par (A) 1'integrale prise le long de ce lacet en par taut du point O en attribuant au radical un signe convenu une fois pour toutes. Je la repr^senterai par [A] si le lacet est rectiligne. Je remarque deux choses : i° Une periode quelconque de Tint^grale sera une combinaison lineaire a coefficients entiers de p6riodes de la forme [A]-[B], A et B etant deux points singuliers quelconques; 2° Soient deux lacets, Pun rectiligne, Tautre non rectiligne, enveloppant un m£me point singulier A. Soient [A] et (A) les deux int^grales correspondantes ; la difference sera egale au double d'une periode. Cela pose, supposons d'abord le polynome F indecomposable, et supposons que nous ayons n 4- 1 points singuliers qui peuvent £tre distincts A A A A Nous pourrons alors avoir n periodes distinctes Je dis qu'elles sont toutes nulles. En. eflet, le polynome F etant indecomposable, les points A0 et At peuven s'echanger. Je puis faire varier d'une mani&re continue A<> de facon qu'il viennc en At. Le lacet rectiligne entourant A0 se changera en un lacet, generalemen non rectiligne, entourant A4, de sorte qu'on aura Mais (At) — [At] est le double d'une periode. Nous avons done entn 84 LES P^RIODES DES INT^GRALES DOUBLES. nos n p^riodes une Equation lintfaire a coefficients entiers. Le coefficient de [A0] — [A4] est impair, celui des autres ptfriodes est pair. Nous trouverions de m6me n — i autres Aquations lin(5aires. Le determinant de ces Equations ne saurait 3tre nul. En effet, il est I O O O o i o o 0010 O O O I (mods). Done les n p&riodes sont nulles. c. Q. F. D. Qu'arrive-t-il maintenant si le polynome F est decomposable? Si alors A0 et AI appartiennent a deux facteurs diff&rents de F, A0 ne s'dchange plus avec A4. Mais voici comment on peut raisonner : En faisant varier A0 et A4 d'une manure continue, je pourrai les amener on deux points B0 et B! infiniment voisins Pun de Tautre et infiniment voisins do Fun des points d/intersection des deux courbes dans lesquelles se decompose la courbe F = o. Alors les lacets rectilignes [A0] et [Ad] se changent dans les laccts non rectilignes (Bo) et (BA)? de sorte que LAoJ-LBo], [AiJ-tB,] seront des doubles p&riodes. Maintenantj en faisant varier d'une mani&re continue B0 et B*7 je puis faire tourner B0 autour de B4; alors [B0] et [BA] se changent respectivement en 3[Bo]-2[Bi], 2[B0]™[B4], d'oii fBo]-3IB0]-2[B1] on On en conclut que [A0] — [AA] est encore une double pgriode, et le roste do la demonstration se poursuit comme plus haut. Cette demonstration suppose que B0 peut tourner autour de B*, sans qu'aucun autre point singulier soil tr^s voisin de B0 et de Bi. C'est ce qui arrivera si la courbe F = o se decompose en plusieurs courbes irr^ductibles, mais de telle sorte qu'aucun point d'intersection de deux de ces courbes composantes LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES. 85 n'appartienne a plus de deux composantes et ne soit pas un point double pour 1'une d'elles. La demonstration s'applique done, soit dans le cas g£n£ral du probl^me du ddveloppement de la fonction periurbatrice, soit dans le cas particulier ou les deux excentricit^s sont nulles. Ainsi les integrates de diffgrentielles totales de la forme ou R et S sont rationnels en #, y et ne peuvent avoir de p&iodes cycliques, mais seulement des p^riodes polaires. Elles ne peuvent done &tre transcendantes sans 6tre logarithmiques. Elles seront done de la forme suivante : Ai log RI 4- A2 logRa-4-. . .4- A^ logR^-h T, ou RI, R2, . . . , Rp et T sont rationnels en #, y, z et ou A1? Aa, . . . , A/; sont des constantes. Mais il y a plus : si R (ainsi que S) est £gal a z multiplig par une fonction rationnelle de x et de y, notre integrate doit changer de signe quand on change z en — ^, de telle sorte qu'elle devra &tre de la forme ou U est rationnel en x et j, ou les P sont des polynomes en #, j, s et les A des constantes. Alors le d6nominateur comrnun de R et S doit £tre de la forme Nous sommes done conduits a la r&gle suivante : Soit une integrate de diff&rentielle totale, ou B, G, D sont des polynomes entiers en rx et 7. Supposons cette integrate logarithmique et soit D4 Fun des facteurs de D. gg LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES. La course gauche D, = o, F = *2 doit se decomposer en deux autres. Dans les integrates que nous avons a envisager, le d<*nominateur est do la forme x*y$, a et (3 <5tant des entiers; il n'y aurait done aucunc difficult,^ si ks deux courbes gauches (Haient ind^composables. Mais ce n'est pas ce qui arrive. Pour x = o, K' so r^duit a a2y2, et pour y = o, a &2^3, a et & 6tant des coefficienls constants. La demonstration donn^e plus haut dans un cas analogue n'est done plus applicable et il faut en chercher une nouvelle. S'il existait une integrate logarithmique, elle serait de la forme f Aflfon-Brfy 1=7 J - tfTfi V^ » A et B etant des polynomes en x et y. Si nous faisons x = const., elle deviendrait qui devrait admettre une p^riode polaire quand on tournerait autour de y = o, et ne devrait pas admettre de p^riode cyclique. C serait un polynome entier en y et - - Comme F' est un polynome du quatri&me degre en y , je poserai et je designerai paryo? JKi? jKa? y* les quatre racin.es de 1'^quation F'=o. Nous aurons alors a) ou k, a et b sont des constantes. Alors CF'' qui est un polynome eatier en y et — sera une fonction doublemeni LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES, 87 p&riodique de u, ne changeant pas quand on change u en — u. Elle admettra quatre poles, a savoir ± a et ± b. Nous aurons f D6composons CF; en dements simples, il viendra /""tlTlf _ Y / -y\ ^^ y., 'f ( _. fy \ M Y ( 1 7">\ Y ( —l/l'N + q[V(u- «) + ?'(»-+- «)] + /•[?'(«- £) + ?'(« + 6)]+ H, ou w, /£, /;, </, /' sont des coefficients constants et ou H depend des ddriv^es secondes des £ ou des d^riv^es d'ordre plus 6lev^. La partie transcendante de Fint6grale sera done . CT(M — 6) . m log— - - f -f- 71 log & Notre int6grale ne doit pas admettre de p^riode cyclique, cette partie transcendante ne doit done pas clianger quand u augmente de 2Wi ou de 2&>2. Si u- augmente de aw, £(u) augmente de 27? et cr(w) est multipli^ Done notre transcendante augmente de Colte expression doit s'annuler quand on donne a G), soit 1'indice i , soit Findice 2, en donnant a YJ Findice eorrespondant. On aura done ma -h nb = g' -H r, /> = o. Faisons maintenant varier a? d'une mani&re continue; a et 6 varieront d'une mani^re continue, m, n: q et r restent constants et p doit rester nul. II y a deux valeurs de 5? pour lesquelles une des racines de F!= o (je puis toujours supposer que c'est celle que j'ai appel^e y0) devientnulle. Si5?tourne autour d'une de ces deux valeurs, en d^crivant un cercle tr&s petit, y0 tourne autour de z<*ro. Alors a se change en — a et & ne change pas, Comrne notre relation doit toujours subsister, nous aurions — ma, •+- nb = q -h r? d'ou m = o, gg LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES. Nous trouverions de m&me n = o, djou q •+• r = o. Cela montre que notre integrals est alg^brique. c. Q. r. D. Cette demonstration s'applique au cas g£n£ral; dans le cas particulier ofi les excentricit<*s sont nulles, la demonstration est encore plus facile. En effet, si Pint<3grale est de la forme A doc -+- C J elle ne pourrait avoir de point singulier logarithmique que pour 57=0, ou y = o, ou a? = oo , ou y = oo . Or F' est ^gal li a?y, multiplie par un polynome du deuxi6me degr6 tant en x qu'en y. Si done on suppose x irbs petit et qu'on d^veloppe suivant les puissances de x, on n'aura que des puissances impaires de \]x\ on n'aura done pas de terme en — qui introduirait un logarithme. Done x = o n'est pas un point singulier logarithmique et il en est de m6mc dey = o, o?= oo, j = GO. c. Q. F. o. Cas general. Nous avons vu que dans le cas general, c'esl-a-dire si les excentricit^s no sont pas nulles, ni les inclinaisons, F est un polynome du deuxi&me degr(5. D^sormais, sauf avis contraire5 j'entends par polynome de degr6 p, un polynome de degre p en x, j, ~? -? de telle sorte que dans chacun de ses termes la somme des valeurs absolues des exposants de x et de y soit au plus Soit alors H un polynome de degrg q. II s^git de savoir si Ton peut trouver deux polynomes P et Q de degrg p et tels que d'ou Nous g^n^raliserons en supposant que F est un polynome de degr£ LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. Si Ton a nous dirons que le poljiiome H pent se meitre sous la forme (28 bis). Si Ton a de telle fagon que los Lermes de degr6 p -+- m se de'truisent dans le second membre de (28), nous dirons que H peut se mettre sous la forme (28 ter) et ce que nous avons d'abord a 6tablir, c'est que si H peut se mettre sous la forme (28 ter), il peut se mettre sous la forme (28 bis). Pour cela, j'adopterai la notation suivante. J'appellerai : HI 1'ensemble des termes de H du degre' le plus eleve' (c'est-a-dire de degre* #), en x et y] Ha 1'ensemble des termes de H du degru le plus e'leve (c'est-a-dire de degre" <y), en x et-; y H3 1'ensemble des termes de H du degre' le plus eleve (c'est-a-dire de degre* q), en - et y : a; J ' H» 1'ensemble des termes de H du degr*3 le plus e'leve' (c'est-a-dire de degrg q)* en - et — • x y Je ddfinirai de m6me F4, F2, F3, F,, P1? P2, Pa, P4, Ql3 Q2, Q3, Q4. Je remarque que Hi et H2 ont un terme commun, le terme en x*\ Je 1'appellerai H12; je de'finirai de m^me H13, H24, H34, F42J ---- Cela pose', en prenant les termes du degrg le plus e'leve', en x et j/-, on aura, si ^ = p -j- /n, Si, au contraire, H est de la forme (28 ter), les termes de degre/> -f- wi doivenl disparaitre, et Ton aura ou ^ («pt Cela montre que y Qt H. P. — VIII. Q0 LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. cst une differentielle exacte que j'appellerat rf(Tv^). (Test une fonction h.omog&ne de degr6 p -h 2 + — on # el /; on n done Je poserai Qi — PI = RI, et je Lrouverai ou (25) Jp* / Cette Equation montre que ^?-^-iRi est divisible par F, f el comine Fd ost 7-rp N premier avec^-^-? dans le cas g6n<*ralj , que RI est divisible par FI (remarquons en passant que, d'apr&s leur definition, FI, PI, Q4, R4 sont des polynomcs entiers en x et y). Soit done On voii que Si sera un polynome entier homog&ne et d'ordrejo — m en x cly. On aura d'ailleurs Les termes du degr^/? ~f- m en a? et - doivent disparaitre, ce qui donne ou bien r Qa V/Fa <^? — ^Ps v/^a dy = <a?(T v/Fi), 6tant une fonction homog^ne de degr£/> + — en x el ~; on a done, par le th6or6me des fonctions homog&nes, + t v/F2 =^7 v/FZCQ^ Pt). Si je pose Q24-P2=^R2, je retrouverai une Equation analogue a (a5), ou le coefficient p •+- 2 + ~ sera remplac^ par p + 2 et oft 1'indice i sera partoul LES P^RIODES DES INTEGRALES DOUBLES. gi remplace par 1'indice 2. Cette equation montre quo Ru esl divisible par Fa. Posons done R2= S2 sera un polynome homog£ne de degr£ p — m en x et - et Ton aura On d^montrerait de m£me qu'on aura S3 et S* £tant des polynomes homogtoes de degrtS/? — m en - et y et cn-et-« Si et S2 contiennent un terme en &~m\ soit S12 celui de Si, S2i celui de S3; je vais d^montrer que 812= Soi. De Rt= (/^H-a-H ^) SiFi, R,= (^-H 7) on tire, en 6galant les termes ind^pendants dey, (Ql2- Pia) = (p H- 2 -i- ~ Si»F«, il faut done d&nontrer que ou figalons dans (24) les termes ind^peiidants dey; ces termes, dans sont respectivement Pi., Q«, II vient done Q2 LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. OU C. Q. F. D. On d^montrerait de m&me que 51 et S3 ont m6me terme en yP-m^ 52 et s* » ym~p> 53 et S* » xm~r. II existe done un polynome S de degr& p — rn, ou Les termes de degre p — - m en a? et y sont Sj, » 5? et — » 83, — et — » S*. Posons alors On a done et par consequent Les polynomes P et Q sont done remplac^s par P — Pv et Q — Q/; qui sont, comme nous allons le voir, de degr^ moindre. En effet, les termes de P;/ et Qf/, qui sont de degr6 p — m en x et y sont PI et Qi, x et - » P2 et Q2) ./ ^ et y » P3 et Q3, 3D - et ~ » P4 et Q4. x y x Le degrd des polynomes P et Q peut done toujours ^tre abaiss^ si H est de la forme (a3 rer), de sorte que H peut toujours 6tre ramen^ ^ la forme (a3 &«>). c. Q. F. D. LES PERIODES DES INTfiGRALES DOUBLES. g3 II suffit done de chercher si H peut se mettre sous la forme (28 bis). Combien y a-t-il de polynomes H de degr6 q=p + m^ II y en a qz -4- ( q H- 1)2 = (p -+- m)* -H (p -+- m -h i)2. Gombien y a-t-il de polynomes P de degr£ p ? II y en a et autant de polynomes Q, de sorLe qu'il y a /> -Hi)2 expressions de la forme (28 bis). Mais loutes ces expressions ne sont pas distinctes, parce qu'il peuty avoir des polynomes P et Q, tels que (26) ^( Cette Equation exprime que f (y est une int<3grale de diiF^rentielle totale. Gette intggrale, d'apr^s ce que nous avons vu, ne peut ^tre transcendante ; et, en raisonnant comme nous Favons s fait plus haut, on verrait qu'elle doit toe de la forme xySFJ: S gtant un polynome entier en #, y: ~ ? - • On aura done ay 2 ay Ces Equations montrent que S doit 6tre de degr6 p — m. Si, en efifet, S 6tait de degr6 A > p — m, il contiendrait un ensemble de termes homog&nes de degr6 h en x et y que j'appellerais Si (et je dgfinirais de m^me, comme plus haul, S2) S3? S4). Les termes de degrg A + m devant disparaitre dans le second membre de < on aurait o — S,P4-/f F^I^ 9/j LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES. Oil d'ou St = o. On d^montrerait de m£me que S2? S3 el S4 sont nuls. Done S est de degrg p — m, el il y a autant de relaiions (26) quo d<* polynomes de degrgjo — w, c'est-a-dire Gombien y a-t-il alors de polynomes H distincts non susceptibles d'etre mis sous la forme (a3)? II y en a (p H- 7rc)2-H (p + m + i)2 — 2J02 — z(p -+- 1)2+ (JP — m)«-4- (/? — /w -h i)25 Dans le cas de la fonction perturbatrice, on a m = 2, 4^2=i6- Ainsi /e5 coefficients du dgveloppeinent de la fonction perturbatrice suivant les cosinus et sinus des multiples des anomalies excentriques sonl des fonctions transcendantes des &l£rnents. Mais ces fonctio?i$ transcen- dantes dependent au plus de 16 transcendantes distinctes. Cas des excentricites nulles. Alors, nous Pavons vu, le polynome F contient des lermes en J'entendrai d^sormais, sauf avis contraire, par polynome de degnS jy tout polynome • oft, dans chaque terme, Texposant de ^, non plus que celui de y, n'exc&de jamais p en valeur absolue. En ce sens, F est un polynome de degr6 i. Je g<5n£raliserai en supposant que F est un polynome de degr£ m. Soit H un polynome de degr^ q; il s'agit de savoir s'il peut se mettrc sous la forme (a3). Je dirai encore que le polynome est de la forme (28 iw), si le degrg p des polynomes P et Q (le mot degr& est entendu au sens nouveau que je lui donne) est 6gal ^L q~m, et de la forme (a3 ter) s'il est plus grand que q~m. LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 96 Je me propose encore d'etablir que tout polynome de la forme (28 ter) est aussi de la forme (28 bis). Adoptant des notations analogues a celles du paragraphe precedent, je dgsigne : par P! 1'ensemble des termes de P de degre/> par rapport a j?, P2 » P » ^ » y, p« » P » p i *» — ) & p* » ' P » ^ i * J5 par Qj Q » p » #} Q2 Q p j'i Q3 Q » JO i » -? Q* Q p i s V ' par FI Fensemble des termes de F de degre m par rapport a a?, Fa » F » /?! » y, F » m » —5 x F » m » — • Je d^signerai toujours par P12 le terme commun a P£ et a P2, qui estalors un terme en xpyp> et je d^finirai de m^me Qi3j . . . , F12, .... Nous retrouverons alors liquation (24), qui montre que jQ, \ftTidx — x est une diff^rentielle exacte. Si nous observons que par definition P4, Q± et F4 sont £gaux a of ou a xm multiplies par une fonction de y^ nous voyons que TI doit 6tre 6gal a a?/7"1"1"l""s multiplie par une fonction de y, c'est-a-dire que /•/T En 6galant les deux valeurs de -^ » on trouve ce qui montre que Qi est divisible par FI ( si, cornme nous le supposons, F4 est dFi\ premier avec y -r— ) • LES PER10DES DES INTEGRALES DOUBLES. Nous pourrons alors poser Si 6tant tSgal £ #>'~m multipli<3 par un polynome d'ordre p — m on y el -- Nous trouverons de m&me " dx — et on d&nontrerait de la mdme facon que S2 6tant <2gal ^ j^""m multipli^ par un polynome d'ordre /; — m on x 01 «• Mais Si etS2 ont tous deux un terme en &-™yt>-™\ j'appelltj Sia ^^Ini do S4 el Sai celui de S2. Je dis que S12= Sai. En effet, nous avons d'ou Ce qu'il faut done d^montrer, c'est que Mais si dans liquation on conserve seulement les termes en %?+"*> yp+ny on irouve pr^cis^ment On d^finirait de m^me S3 et S*, et Ton verrail comme plus haul H existe done un polynome S d'ordre p — m dont les termes de degrg p — m en x, en 7, en ^3 en ^, sont respectivement S4j S35 S3 et SA) de lelle fa90ix que LES PE"RIODES DES INTE*GRALES DOUBLES. §7 Le reste du raisonnement se poursuivrait comme dans les paragraphes pre"ce*dents et 1'on verrait que tout polynome de la forme (28 ter} peut se ramener a la forme (28 bis}. II suffit done de rechercher si H peut etre mis sous la forme (28 bis}. Or, combien y a-t-il de polynomes H de degre* gr=/?4-m?Ilyena • i)2= (a/? -h im -hi)"2. II y a (2/> -h i)2 polynomes P de degre* p et autant de polynomes Q et, par consequent, 2(2/>-l-i)2 expressions (28). Combien entre ces expressions y a-t-il d'e*quations (26) ? Si / (y Q est une inte"grale de diffe"rentielle to tale, cette inte*grale ne peut 6tre $_ transcendante et doit 6tre de la forme asySF2, S e*tant un polynome i i en x, y, -> -• ' J ' x y Les Equations (27) qui sont encore valables montreraient que S est de degre" p — m\ car si S toit de degr£ h>p — m, en e"crivant que les termes en xh^m disparaissent du second membre de (27), on trouverait en appelant St 1'ensemble des termes de S en #A. On aurait done Si= o, et Ton verrait de m6me que les termes de S en yh, en x~h et en y~h doivent disparaitre. II y a done autant de relations (26) que de polynomes de degre" p — m, c7est-a-dire '(2jD — 2m -hi)2. Combien alors de polynomes H non re*ductibles & la forme (28)? II y en a (a/> -h 2m -h i)2— 2(27? H- i)2-h (a/? — zm -+- 1)2. CelafaitSm2. Dans le cas de la fonction perturbatrice m = i . II y a done au plus huit trans cendantes distinctes. H. P. - VIII. 98 LES pgRJODES DBS INliGRALES DOUBLES. Influence de la symetrie. Ce nombre peut encore 6tre abaissg. Nous avons vu, en offer, que le polynome F ne change pas quand on change x en y, iii quand on change op et y en - et -• Nous ne nous servirons que de la premiere de ces deux synu'Mnos, Ainsi F est un poljnome sym6trique en x el y. Soil alors H un polynome sym^trique en x el y. Si nous avons je puis supposer que les polynomes P et Q se changenl Tun dans 1'aulre quand on change x et y. Si, en effet, il n'en e*tait pas ainsi, en permutanl x ely, on Lrouverail d'ou JL - ± \x .ygP( V/F ^ L et il est clair que les deux polynomes (qui remplacent P et Q) se permutent quand on change x et y, Pour chercher combien il nous restera de transcendantes dislincles, il suffil de chercher combien il y a de polynomes H symdtriques non susceptibles d^tre mis sous la forme (28). D'apr^s ce qui pr6c&de, il suffit de chercher combien il y en a qui no peuvent se mettre sous la forme (28 bis}, les polynomes P el Q se penuutanl quand on change x en y. C'est ce que j'appellerai meLLre H sous la forme (28 quater). II y a polynomes H sym6triques de degr^ q. II y a (*p + 1)2 polynomes P(a?, 7) de degr^j?. A chacun d'eux correspond le polynome LES P£RIODES DES INTEGRATES DOUBLES. 99 11 y a done (2J04-I)2 expressions (28 quater)] mais toutes ne sont pas distinctes, car on peut avoir entre elles des relations de la forme (26 bit) -^ (*P ^ + ~ (/Q s/F) = o, d'ou dx - ccP dy) = d( SF*). Si Ton change # en y, le premier membre change de signe; done SF- change de signe, et comme F ne change pas, S change de signe. II y aura done autant de relations (26 bis) que de polynomes S de degr£/> — m qui changent de signe quand on change x en y, c'est-a-dire (2/? 4- 2/w -4- !)(/) — ni). Le nombre des polynomes H sym^triques non susceptibles d'etre mis sous la forme (a3) est done (2jt? -H 2 m H- l) (/? H- /n -I- l) — (2/? H- I )a -4- ( 2/7 — 2 Wi -h l) ( /? — /n ), c'est-a-dire Ici m = i; done 4^2-l- ajn = 6. Ainsi, j?« /e^ rfew^ orbites sont circulaires et les deux excentricit^s nulles et si Ton d^veloppe la fonction perturbatrice suivant les sinus et les cosinus des multiples des anomalies excentriques qui se confondent alors avec les anoma- lies moyennes, les coefficients sont des fonctions transcendantes des gl&nents; mais ils dependent an plus de six transcendantes distinctes. Tenons compte maintenant de la double sym£trie du polynome F; il ne change pas, ni quand on permute x et y, ni quand on change x en - et y en ~- y Pour que ces deux changements n'alt&rent pas PintSgrable double /Hdxdy ~w~9 il faut et il suffit qu'ils n'alt^rent pas non plus le polynome IOO • LES PERIODES DBS INT^GRALES DOUBLES, Si H' est un polynome pr^sentant cette double symtHrie, el si H pcul so mollrc sous la forme (a3), nous aurons <"> *- en posant Si H' a cette double symglrie, on pourra toujours supposer quc P' se change en — p'j et que Q' se change en — Qr quand % et y se cliangcnl en ~ ct ~ j <H, •/ d'autre part, que P' se change en Q' et Qf en P7, quand on permute x oty. Cela se d^montrerait comme plus haul. Le polynome F est de degr6 m Me veux dire par la, comme plus haul, qu'il est de degr^ m par rapport a x et -j d'une part; par rapport a y ot -3 d'aulru part). Si P{ et Q; som d'ordre /?, Hf sera d'ordre q =/? + m. Ilya (gr -H l)2 = (/? -4- m -H l)2 polynomes H; de degrt5 q pr<3senlanl cette sym^lrie. II y aura, d'autre part, 2/>2~h2/? polynomes P' de degr£ q se clwugoanl en — P; quand x et y se changent en ~ et ~- A chaque polynome P' corrcs- pondra un polynome II y aura done a^3+ 2/> expressions (28), II reste a savoir s'il n'y u pas entre elles des relations de la forme dsc y dy x OU r d'o* f On voit que S' sera un polynome d'ordre p — m\ ce polynome change de signe LES PERIODES DES INT EGR ALES DOUBLES. IOI quand on permute x cl y\ il ne change pas quand on change x en - et y II y aura done autant de relations analogues aux relations (26) qu'il y aura de polynomes S' de degrgyj — m prgsentant cette symgtrie; c'est-a-dire Le nombre de nos transcendantes distinctes est alors, d'apr&s un calcul que nous avons fait bien des fois, (p •+• m 4- i)2 — zp- — 2/? •+- (p — m)2, c'est-a-dire 2 m~ 4- 2 m -+• i . Si m = i , on a 2 /n2 -f- 2 /7i -+- 1 = 5. Done fes coefficients du developpement de la Jonction perturbatrice dependent an plus de cinq transcendantes distinctes, quand les deux excen- tricites sont nulles. Relation avec la theorie des periodes des integrales doubles. II n'est peuL-^Lre pas inutile de dire comment j'ai £t6 conduit a ces rgsultats. Les coefficients cherches soiit .des periodes de I'int6grale double Jxayb doc dy "V/F "*" y Soit A«6 le coefficient en question; envisageons la fonction et 6tudions ses variations quand on fait varier t et u et, par consequent, sa nature analytique. Quand t d^crira un contour ferm£, les diverses periodes de 1'intggrale double s'^changeront entre elles. Les nouvelles determinations de &(t, u) seront done des fonctions Im^aires des anciennes. En d'autres termes, la fonc- tion $(£, u) consid£r6e comme fonction de t satisfera a une Equation diffe§ren- tielle lin^aire dont les coefficients seront des fonctions uniformes. L'ordre de J02 LES PERIODES DES WliGRALES DOUBLES. cetie equation sera au plus N, si N est le nombrc des periodes dc riuldgrale double. De plus, la fonction sous le signe ^elant algebrique, lout point singular de $(t, u} sera im simple point singulier algebrique ou logariihmiquo. Done les coefficients de liquation lin€aire seront des fonctions ralionnellcs. On arriverait au m6me resultat en considerant *(£, u) comrne fonclioii de u] ou bien en supposant entre t et u une relation algebrique quclconque. En resume, la fonction #(*, u} et ses derivees par rapport a t el a usalisfonl a deux ou plusieurs equations lineaires dont les coefficients sont des functions rationnelles en t et en u. On peut m6me, en chassant les denominateurs, supposer que les coefficients des equations lin&aires sont des polynomes entiers en t et en u. Or, on sait que, si une fonction satisfait a une Equation lindairc cl si 1'on connait les premiers coefficients, tous les autres peuvent s'en deduire. Nous devious done pr^voir que tous les coefficients dependraient d'mi nombre fini de trans cendanles distinctes. M. Feraud a presente derni^rement a la Faculte des Sciences de Paris uue Th6se ou il se proposait d'etudier la valeur approchee des lermes de degre (Slov<5 du developpement en modifiant la methode que j'ai exposce duns mon livre sur les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste. II a introduit une fonction qui presente de grandes analogies avec celle que je viens d'appeler $(#, w)j il montra en mtoie temps le lien qu^il y avail enlro Fetude de cette fonction et celle des periodes des integrates doubles. Je fus ainsi conduit a penser £ Fanalogie etroite qu'il dovait y avoir on Ira la theorie des periodes des integrates doubles et celle des periodes des inie- grales simples; je pensai en particulier au Memoire de M, Fuchs, du tome 83 du Journal de Crelle, au sujet de 1'equation lineaire a laquelle salisfont los periodes de Pintegrale elliptique. II est evident que Tintegrale J=^1 ^ ^i (i-« doit satisfaire a une Equation analogue et que l^tude de cetle Equation condui- rait imm^diatement aux relations de recurrence bien connues entre les coeffi- cients b de Laplace. Mais la th^orie de ces coefficients de Laplace n'est pas autre chose que celle LES PERIODES DBS INTEGRALES DOUBLES. Io3 du developpemeiii de la fonction perturbatrice, quand les deux excentricites et rinclinaison sont nulles. On peut done prevoir que le m£me precede, applique aux integrates doubles, donnera des relations de recurrence analogues entre les coefficients du deve- loppement quand Finclinaison n'est pas nulle. On remarquera 6galement que la theorie qui remplit les pages pr£cedentes est une generalisation toute naturelle de la reduction des integrates hyper- elliptiques, reduction qui aboutit, comme on sait, a la distinction des inte- grates de premiere, deuxifeme et troisi&me espfece, On peut done entrevoir une relation entre le nombre des periodes et celui des integrates de premiere et de deuxi£rne espfcce, ainsi que cela a lieu pour les integrates hyperelliptiques et abeliennes. Ce n'est pas tout; reprenons le coefficient du developpement qui est repre- sente par 1'int^grale <te dy ~ xayi> /P Cette integrate peut 6tre regardee comme une fonction des coefficients de F (et, par consequent, des elements du mouvement elliptique). Mais, quand ces coefficients varieront et, apr&s avoir decrit des contours ferm.es, reviendront a leurs valeurs primitives, les periodes de Tintegrale double ne feront que s'eclianger entre elles. C'est le m^me raisonnement que plus haut et le resultat est le m^me; notre integrale, consideree comme fonction de Pun des elements elliptiques, satisfera a une equation lineaire a coefficients i*ationnels. Tout ce que nous venons de dire s'applique aux devetoppements procedant suivant les anomalies excentriques. Passons au cas des developperaents proce- dant suivant les anomalies moyennes. Un coefficient quelconque sera donn£ par 1'intdgrale e designe la base des logarithmes neperiens, e et B' les deux excentricites. C'est la presence du facteur transcendant qui emp^che que les r^sultats precedents soient immediatement applicables. C'est ce que j'appellerai le facteur e$ponentiel. ,0£ LES PiRIODES DES INTEGRALES DOUBLES. Nous voyons que les deux entiers a et b figureni, d'une pan, dans le fac- leur xayb et, d'autre part, dans le facteur exponentiel; d'autre part, les deux excentricitgs e et ef figureni dans le facleur exponeniiel et en dehors do co facteur. Si nous -posons at le facteur exponentiel devienl el si nous considtSruns T, T', s, e', a, b comme des variables indtfpendanles, co qui ne fait qu'&endre la gfogralitg, r et r1 n'enlrenl que dans le facteur expo- nentiel, et, an contraire, s, £f, a et b ne figureni qu'en dehors de ce facleur. Cette convention simplifiera Fenonce des rtSsullals. On salt que si Ton pose el si /(a?) satisfail a line Equation differentielle de la forme la fonction u satisfait a liquation conjugu^e pourvu que le chemin d'int^gration soit convenablement choisi, et en parli- culier si Fintdgrale d^finie u est une p(5riode de I'intoSgrale ind^finie. Soit de mdme V une p^riode de Fintegrale double = I) e* (!K, y} dx dy. Si la fonction /(a?, y) satisfait a une ou plusieurs Equations lin(5airos de la forme <" la p&riode V satisfera aux Equations correspondantes LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. IO5 Or, si /esl une function algehrique quelcoiique de a? el de y. /satisfcra a deux equations lineaires a coefficients ralionnels en x el j'. Done \ satisfera de m£me a deux equations lineaires a coefficients rationnels en z et u. Cela pent d'abord s'appliquer a la recherche des relations de recurrence entre les coefficients du duveloppement de —5 recherche qui nous a occupes V/F dans les paragraphes precedents. En efiet, la fonction -j- (Slant algebrique, Pintegrale satisfera a deux equations analogues a (3). De ces equations il est aise de deduire des relations de recurrence entre les coefficients du d<£veloppement de V suivant les puissances de z«uh. Or le coefficient de ~r^\ est precis(5menl Tintegrale /<Kaybdxdy S/F ' c'esl-a-dire Tun des coefficients du d^veloppemeni cherch<* de — • D'aulre part, posons P integrate (i) pourra s^crire J = *({-, en) est une fonction algebrique de £ el de r?. Done J, considere comme fonction de T et de T', satisfait a deux equations de la forme (3). Mais on peut encore mettre Pintegrale J sous une autre forme ou le m6mo resultat apparaitra d'une fagon non moins evidente. L'integrale J peut 6tre regardee comme^un cas particulier de la suivante TO:— -» -f-fj*— ~i d& dy ^ X •V«/«*nj'> . ^ » ou cp(#? y) est une fonction rationnelle de x et de y et ou T, n, Tf, rt sont regard^es comme des variables ind<5pendantes entre elles, et indSpendantes <5galement, d'apr^s la convention faite plus haut, de £ et a' qui continuant a figurer dans 9 et dans F. H. P. -VIII. l4 I0g LES PERIODES DBS INTfiCRALES DOUBLES. On relrouve l'int<5grale J en faisanl T = T,, T'=T',. Nous voyons ensuite qu'a un facteur constant pr6s cellc inttfgrale cst uno peJriode de I'intggrale quadruple on encore une periode de I'int^grale quintuple f &*** J Je regarderai cetle integrate comme un cas particulicr de la suivanle : r er^..^r<^>v^ <P dx dy dan dy_i_ds_ L'integrale se trouve ainsi mise sous la forme convenable. Sous le signe J nous avons le produit d'un facteur exponentiel et d'une fonction algdbriquo (et m£me rationnelle) des cinq variables x, y, #t, y*., z. Done F integrate consider^ comme fonction de T, TI, T', Tt et u satisfera a cinq Equations differentielles lin<$aires a coefficients i^ationnels. Toutes les deriv^es partielles des difFerents ordres de cette integralo par rapport a T, TI, T', T\ et u peuvent s'exprimer lin&iirement & Faide d'unnombro fini d'enlre elles; et cela par le moyen de ces cinq Equations diffdrentielles et de celles qu'on en deduit par differentiation (je reviendrai tout a Fheure sur ce point). Done, si nous considerons les integrates C H <p dx dy dXj dy\ dz ( D ) I ~ J ou H = T# + TiZi-+- Jy + r^yi -+• us et ou a, b, c, a^ bi sont des entiers, toutes ces integrates peuvent s'exprimer £ Faide d'un nombre fini d'entre elles. Reprenons maintenant Tint^grale (4)- Nous venons de la consid&rer comme fonction des r et de u] mais nous regarderons maintenant u et les r comme des constantes et nous ferons varier les elements elliptiques (et entre autres $ et e') dont depend la partie rationnelle de la fonction sous le signe I * LES PERIODES DES INTEGRATES DOUBLES. 107 La derivee de J par rapport a Fun de ces elements, ou une derivee partielle d'ordre quelconque de J par rapport a ces divers elements, sera de la forme (6) ou #H represente le facteur exponentiel et ou P est un polynome en x, )\ — De meme que Fintegrale (i) a ete ramenee a Finlegrale (4)j de mgmc cette integrate (6) se ramenerait a une combinaison d'int^grales de la forme (5). Done les divcrses d<3rivees partielles de J peuvent s'exprimer a 1'aide d'un nombre fini d'entre elles. Un dernier point que j'avais reserve reste a examiner. Soit Fintegrale triple (7) J = } dxdydz, ou R est rationnel en x, y et z\ je dis que les d^riv^es partielles de J par rap- port a £, a u et a P peuvent s'exprimer a Faide d'un nombre fini d'entre elles. J'ai 6nonc6 plus haut cette propri<£t6, sans la d^montrer, en ce qui concerne Fintegrale (4); tHablie pour Fint^grale triple (7), elle s'etendrait t^videmment a Fintegrale quintuple (4)- Soit ..$, P et Q 6tant despolynomes. R satisfera aux Equations difF<5rentielles dx dy dz dP dP d? dsc dy dz _ "" x. — ~v " T>. dx dy dz Cherchons & former les Equations correspondantes auxquelles satisfait J et I0g LES PERIODES DES INT^GRALES DOUBLES, qui se deduisenl des premises comme liquation (3) se ddduil dc liqua- tion (2). A chaque polynome en x, y, z corresponds un op^rateur. Au polynome correspond 1'operateur 2 A / T A{ l Soienl A, At, A2, Di, D2, D3 les opera tears qui correspondent a ax polynomes *. «.-«§-'3' -« ^P ^Q et? dQ _ P rfQ dx dy dy dx Alors les Equations auxquelles satisfait J s'<5criront (B) Pour d^monlrer quo toutes les d&riv<Ses de J d'ordrc suffisamnionl ('ilev6 peuvent s'expriiner & Taide des d^riv^es d'ordre moindre, il suffira do inontrer qu'une combinaison liu(5aire quelconque des d6riv6es d'ordre M pout 6trc regard^e comme obtenue de la fagon suivante : Parmi les Equations que Ton peut d^duiro des Equations (8), par diffdrcn- tiation, distinguons celles qui sont d'ordre M. Soient HI — Oj Hg 1=1 Qj • • • 7 tf-K ==: O ces Equations. Soient H'1? H;s, ..., HJt les lermes de HI, Ha, ..., HK qui contiennent des d^riv^es d'ordre M. Je dis que tout© combinaison lin^aire des d<Sriv6es d'ordre M de la fonc- tion J pourra se mettre sous la forme les (3 ^tant des fonctions de.r, U., P. LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 109 Les termes de 1'ordre le plus elev£ des Equations (8) sonl : jfA'J, «A'J, u&il — jfA'oJ. tD\ JH- Z£D'2J -4- fD'-J, ou A', A'1? A'2, D'1? D'2, D'., representent les operateurs obtenus en conscrvanl les de*rive*es de Fordre le plus clove" dans les operateurs A, AI, , . . ; ils corres- pondent respectivement aux polynomes P', Q', S'i; S;4, T't, T'2: T'3 obtenus en conservant dans les polynomes P, Q, Si, S27 T1? T2l T3 les teriues du clegre le plus elev£. Dans une equation d'ordre M obtenue en diffe"rentiant et coiubinant les equations (8), les termes d'ordre M seront de la forme (9) pi*aiA'J-i- oii (34, pa, (33 sont des fonctions, Dij Daj Ds des ope>ateurs quelconques. Ge qu'il s'agit de d^montrer, c'est que toute combinaison des d£rive"es d'ordre M peut se mettre sous la forme (9)5 ou, ce qui revient au mgme, que tout polynome homogene d'ordre M en x, y et z peut se mettre sous la forme ou Vi, V2, Va sont des polynomes arbitraircs correspondant aux opera- leurs DI? Da, D3. Or, pour cela, il suffit que les trois polynomes P'Q', wS't-O',, ne puissent s'annuler a la fois. C'est justernent ce qui a lieu quand on attribue des valeurs quelconques aux trois inde'termm^es £, u et 9 et quand les polynomes P et Q sont les plus ggne- raux de leur degre". Le th^oreme d^montr^ quand les polynomes P et Q sont les plus ge'ne'raux de leur degre" sera vrai (et pourrait se demontrer par passage a la limile) pour des polynomes quelconques. SUR LES PfiRIODES DES INTlGRALES DOUBLES ET LE DEVELOPPEMENT DE LA FONCTrON PERTURBATRICE Bulletin, astronomique, t. 14, p. 353-354 (septembre 1897). On sait que le de>eloppement de 1' expression (az — 2 ad cos cp -h a'2 )a suivant les cosinus des multiples de cp, a 6t6 tres bien dtudie". Les coefficients de ce de*veloppement, qui sont connus sous le nom de coefficients de Laplace, jouissent de proprie"te~s curieuses. Ge sont des fonctions transcendantes du rapport—; mais ces transcendantes sont li^es par des relations de recurrence, de telle fagon qu'elles s'expriment & Taide de deux transcendantes distinctes seulement. D'autre part, chacune de ces transcendantes satisfait a une Equation diffd- rentielle Iin6aire a coefficients rationnels. LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. Ill L'expression (i) n'est autre chose (pour s = i) que la fonction perturbatrice dans le cas 011 les deux excentricites et Tinclinaison sont nulles. La theorie des periodes des integrates doubles montre que le developpement de la fonction perturbatrice, dans des cas plus generaux, peut encore jouir de proprietes analogues. Supposons d'abord les deux excentricites nulles, mais 1'inclinaison diffi»- rente de zero. On verrait que les coefficients de developpement sont des fonctions trans- cendantes des elements, mais ces fonctions sont liees entre elles par des fonctions de recurrence, de telle facon qu'il n'j a que cinq transcendantes distinctes. Si les excentricites ne sont pas nulles, il j a plus de difficult^. Mais suppo- sons que, au lieu de developper suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes, on developpe suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies excentriques. (Dans le cas precedent, les excentricites etant nulles, Panomalie excentrique se confondait avec 1'anomalie moyenne.) Les coefficients de ce developpement sont encore des fonctions transcendantes des elements, mais entre lesquelles il y a des relations de recurrence, de telle facon qu'il n'y ait au plus que seize transcendantes distinctes. D'autre part, ces coefficients satisfont a des equations differentielles lineaires a coefficients -rationnels, de telle fagon que leurs derives partielles des divers ordres puissent s'exprimer a 1'aide d'un nombre fini d'entre elles. Revenons au developpement procedant suivant les multiples des anomalies moyennes. II n'y aura plus entre les coefficients de relations de recurrence a coefficients rationnels, ou du moins je n'en ai pas trouve. Mais les coefficients du developpement, considers comme fonctions des elements, satisfont encore & des equations differentielles lineaires , de telle fagon que les derivees par- tielles des divers ordres de 1'un de ces coefficients puissent s'exprimer a Faide d7un nombre fini d'entre elles. SUR LES PMODES DBS fflTfiGRALES DOUBLES Journal de Mathematiques^ 6* s6rie, t. 2, p. i35-iSg (1906). Voir OEuvres de Henri Poincare, t. Ill, p. DEUX1EME PARTIE. — FIGURE DE LA TERRE. SUR U THEORIE DE LA PRECESSION Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 132, p. 5o-55 (14 Janvier 1901). Stockwell a cherch£ a determiner les variations s6culaires de I'gquateur terrestre qui sont la consequence des variations s<5culaires de l'3cliptique. Mais, r^cemment, M. Backlund (Bulletin de VAcademie de Saint- Petersbourg, mai 1900) a repris ces calculs par la m^thode de Gyld6n et est arrive a des r6sultats enti&remenl diff&rents. G'est ainsi que le coefficient d'une de ces in£galit6s serait, d'apr&s Stockwell, 20 438" et d'apr^s notre Eminent correspondant 568 1". Le principe de la m^thode employee par M. Backlund consiste a ne pas supprimer tout de suite dans ses Equations les termes a courte p^riode qui produisent la nutation; dans les Equations qu'on obtient aprfes quelques trans- formations figurent certains coefficients p6riodiques qui dependent de ces termes ; et pour Fintggration, au lieu de supprimer purement et simplement ces coefficients p^riodiques comme on le fait d'ordinaire, M. Backlund en conserve la partie constante, qu'il appelle vj et \L\. Pour appr^cier la l^gitimitg de cette analyse, il suffira d'^tudier liquation simple (i) -^- = a sin(nt -*-v)-±~b sin/?*, consid£r£e par M. Backlund .(p. 897). Nous supposerons que a et n sont tr6s H. P. — VIIL i5 114 THEORIE DE LA PRECESSION. petits, mais que b et p soient beaucoup plus petits et cela de lelle facon quc — soit notablement plus grand que -^ ? et que p* soil du m6me ordre de grandeur a2 Le premier termc du second membre de (i) est alors un lermc a courle p^riode et le second un terme s^culairc. Lcs Equations do la precession peuvent 6lre ramen^es a cette forme, avec cctte difference qu'il y a un grand nombre de termes a courle p£riode el un grand nombre de lermes st^culaires. Soit alors (i bit) - = as une equation analogue ^ (i), mais ou Ton a fail b = o, el posons P = p0-h s. Nous aurons alors en n^gligeanl £2 (2) -- = at cos(nt-*- PO)-H b sinpt. Si Ton appliquail la m^lhode de Slockwell, on n^gligerail le premier lermo el Ton irouverail M. Backlund irouve d'abord en premiere approximation n* d'ou a . . smut, j Liquation (2) devient s (a cos n* H- ~ ou, en conservant la valeur moyenne du coefficient de e, d*s a2 — =—.s + d'oii b smpt £ = a* 2 THEORIE DE LA PRECESSION. XI5 Telles sont les deux analyses cntre lesquelles il s'agit de decider; la chose est d'autant plus facile que les Equations (i bis) et (2) peuvent s'integrer rigoureusement. Posons, en effet, liquation (i bis) devient 9 = a sin W cos W, d'od — «i, sin\V= — s/p(") — ea, cosW=-^ oup(u) est la fonction doublement periodique de Weierstrass et oil u est a r plus une constante imaginaire. Liquation (2), qui peut alors s'^crire (2 bis) — = s a ses coefficients periodiques. Nous sommes ainsi amends a envisager des Equations lin^aires ^ second membre de la forme (3) £"-?£ = X? ou cp est periodique en t (et ou je d^signe les d^rivees par des lettres accentu^es). D'apr^s un th^or^me bien connu, liquation sans second membre e*— 95 = 0 admettra deux integrates de la forme suivante : cp! et ^2 etant p^riodiques. Je puis toujours supposer que Ton a (4) s'iSa— £o£i = i, et Ton trouve alors, pour 1'int^grale de liquation (3), (5) avec p, = n6 TH^ORIE DE LA PRECESSION. Nous pouvons d'ailleurs trailer sSpardment chacun des termes deX; prenons alors X = e*P*. Soit (en supposant que I'unite de temps ait 6t<3 choisie de telle facon quo la p^riodo de la fonction cp soil <3gale a arr) Dans les integrates (34 et (32, les seuls termes sensibles sont ceux qui conticn- dront un petit diviseur (en consid<5rant p et a comme tr&s petits). Ces termes sont c i = -— - ; — 5 . pl — - a H- i/> r « -h ip Si Ton ne conserve dans (3i,et (3a que ces lermes a petit divisour, lo lormc en eft* dans s sera, d'apr&s la formule (5), Dans le cas ou la fonction 9 est petite (ce qui arrive ici, puisque le faclcur« est petit), les termes aQ et CQ sont notablement plus importants que les autres termes de <p4 et ^3; de tous les termes de e, le plus important est le termc en e1** que je viens d'(3crire; enfin, a cause de la relation (4), on a sensi- blement I , de sorte qu'il reste sensiblement Dans le cas ou a s'annule, il y a ime d^gto(5rescence et Fin de liquation sans second membre serait de la forme ? gtant p^riodique comme vp4, tandis que les y sont les constantes d' integration. Mais a la limite, la formule (6) subsiste. Comparons maintenant cette formule (6) avec celles dc Stockwell et de Backlund. Nous voyons que, pour obtenir celle de Stockwell, il faut faire oc = o, et pour obtenir celle de Backlund, THEORIE DE LA PRECESSION. 117 Or, quelle esl la veritable valour de a ? On le volt tout de suite : liqua- tion (2 bis}, quand on y supprime le second membre, admet pour integrate £1= qui est une fonction periodique. Done a est mil; done c?est Stockwell qui a raison. II faut attribuer aux ine'galites en question les coefficients de Stockwell, dont quelques-uns sont quatre fois plus forts que ceux de Backlund. La critique qui precede ne saurait, en aucune facon, s'adresser a notre savant correspondant, puisqu'il n'a fait qu'appliquer une me'thode classique que tout le monde croyait correcte. Mais c'est la une raison de plus pour que j'aie cru devoir mettre en Evidence le vice fondamental de la m^thode de Gylde*n, dont on pourrait ^tre tente* de faire d'autres applications. II est singulier que Gyld^n soil tombe" dans cette erreur, puisqu'il avait lui- e' int^gr^ les Equations (i bis) et (2). STJR LA PRECESSION" Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. 132, p. 291-292 (11 fevrier 1901). Je vous suis U^s reconnaissanl pour avoir appele Fatlention sur 1'erreur commise dans ma Note stir la precession. En cffet, il m'avait <5chappc5 quo, par des approximations successives, le second terme du membre droit dans -TT— = a sin(otf -4- e) donne naissance £i un terme -4- ai>i v* sin ( at H- £ ), ce qui r&luit vl a z<3ro (au moins aux quantit^s d'ordro sup<^riour), Cette erreur ^l^mentaire m'appartient exclusivement. Dans votre Note vous consid<5rez liquation d'2& , ^ , . — =ae cos(nt -4- PO) n- b smpt. Gut* Gjldto consid£re au d^but des approximations liquation — =s as cos(/i«-h PO) -- «e2 sin(^-h ^0) — £#£3cos(/U-h PO) •+• b si et parvient & determiner vj dans Extrait d'une lettre de M. O. Backlund a M. Poincare. THEORIE DE LA PRECESSION. 1 19 La valeur de pj; ainsi de*terminee est e*videmment beaucoup plus petite Gylde"n dit expresse*ment qu'il est me'me inutile, pour la determination de pj, de partir de liquation, ou Ton a ne"glig^ la deuxieme et la troisieme puissance de e. C'est justement ce que vous avez d<5montre. Je serais ires reconnaissant, si vous vouliez bien faire insurer ces lignes dans les Comptes rendus* Je le dois a la me"moire de Gylde*n. SUR LA FIGURE DE LA TERRE Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 107, p. 67-71 (9 juillet 1888). Est-il possible de irouver une loi de la variation do la densite a TinLdricur do la Terre qui satisfasse a la fois : i° A liquation de Clairaut; 2° A la valeur observe ~ de 1'aplatissement; 2Q5 3° A la valeur observe 3o5,6 de la constante de la precession? Depuis quelque temps ddja, les g^om^lrcs consid^rontcommo vraisemblablo que cela est impossible; si, en 'effet, on admet que la compressibility diminuo rapidemenl quand la pression augmenle, M. Gallandreau a montr<3 que Ton a et, si y] est croissant, ML Radau a d^montr^ qu'il doit y avoir entre Faplalisse- ment et la constant de la precession une relation a laquelle les valours obser- v6es ne satisfont pas. Quelques doutes pouvaient subsister cependant; pour ^tablir cette relation, M. Radau est oblige de supposer que la quantite qu'il a appelee YJ est comprise entre o et o,54. Son rgsultat subsiste-t-il encore quand on s'affrancbit de cette hypoth&se ? Gette Note a pour but de montrer que le th<k>r6me de M. Radau est encore vrai> sans qu'on ait a faire aucune hypoth^se. LA FIGURE DE LA TERRE. 121 Rappelons d'abord les notations habituellement employees. Nous appelons s I'ellipticit6 d'une couche sphuroi'dale quelconque; a le rayon de cette couche, celui du globe entier (Slant pris pour unite; p la densile de cette couche; D la densite moyenne du spheroi'dc limits ext^rieurement par cette couche; a dz .. df\ - = D1? £j. et yji les valeurs de D, e et n a la surface. Liquation de Clairaut s'^crit f i<z2£"— £JD on bien encore (i) ( De plus, on doit avoir a la surface £1=^3' 711 = 0,543. Enfin, les observations de la precession nous donnent D _ eff !-r I=I)955. Si la densit^ est constamment d^croissante, on a <o, P<D, _I>0) et liquation (i) donne alors (C-+-V— -n-ejC^ + ^-i-STjXo. Comme Paplatissement va constamment en croissant, on a TQ >o, de sorte que l'in£galit£ pr£c6dente se decompose en deux : (2) S-H^+.ST^O, S-h^2— -n — 6<o. Je vais me proposer maintenant de d^montrer qu'on a constamment ?1<3. H. P. — VIII. 16 122 LA FIGURE DE LA TERRE. En differentiant 1'equation (i), on trouve •0) •" Lorsque a est croissant, i est aussi croissant, ce qui entraine l'int$galit<£ Q £ + 7)2-4-571 5 ^ ' Posons Le premier membre de Fin^galit^ (3) pourra s'^crire 20 Les in^galit^s (2) entrainent la suivante ^_712_771 de sorte que Pinegalit6 (3) peut s'^crire Pour les valeurs ir^s petites de a, £ et vj sont tr^s petits eltous deuxposilifs; par consequent, F est positif. Je dis que, quand on fera crottre a, F restera toujours positif. En effet, en vertu des in(Sgalit£s (2), F est de mtoie signe que £ — vj2+ 3 73. Done, pour les petites valeurs de a, F et £ — yj2+ STJ sont tous deux positifs. Pour que ces deux fonctions pussent devenir toutes deux negatives, il faudrail d'abord qu'elles fussent toutes deux positives, d^croissantes et tr^s voisines de z6ro. Mais, si 1'on suppose F>o, $— 7)34,3Y)>0j G?F<O, 1'indgalitd (4) nous donne S>os ce qui est incompatible avec les in<%alit£s (2) et la supposition que £ — rf+ 3rj est tr^s voisin de z£ro. Nous avons done toujours LA FIGURE DE LA TERRE. 123 En resum^, les deux quantit^s yj el £ doivent satisfaire aux inogalites sui- vantes : T]>0, ?-{-7)2— TQ — 6<0, 5 — Vj2-f-3 ct ces in£galit£s sont les seules auxquelles elles doivent satisfaire. II est ais£ d'en d^duire Tl<3. On sait que Clairaut avait d&ja d£montr6, mats seulement pour la valeur de YI a la surface, l'inegalit<3 Cela pos£, reprenons le raisonnement de M. Radau. Ce savant (Stablit, par un calcul ing<3nieux, 1' identity suivante : ... /• T\ J Dl d'ou Ton dgduit g ^tant une des valeurs que peut prendre TO, quand a varie de o a i . L' observation donne / — 5/ j ^ V 1 + 711= - ( I r- }? V 2\ I?987/ d'ou Ton dt5duirait i,955 Or, quand a varie de o £ i, t] reste compris entre o et 3; il en est done de m£me de £, ce qui entraine Fir 1.0008. Liquation (5) est done impossible. En r6sum£, aucune hypo these sur la loi des densites ne peut satisfaire aux observations. Je m'abstiens de toute tentative d'interpr^tation de ce r^sultat et je ne 124 LA FIGURE DE LA TERRE. recherche pas si FOIL doit, pour expliquer cette anomalie, reprendre la discus- sion des observations, ou supposer, avec quelqucs ge'ologues , un mouvement relalif du noyau fluide interne par rapport a I'e'corce solide; ou, enfin, si la petite difference, entre 1'aplatissement observe' et 1'aplatissement calcule*, est due simplemenl aux irre'gularite's de la surface el a celles qui, seloii les iddes de M. Faye, existeraient dans la distribution des matieres solides et liquides a Finte'rieur du globe. Dans les hypotheses envisages par M. Radau, et ou o<-n <TH, la valeur de I reste sensiblement constante et e'gale a 1,987. Dans le cas plus ge'ne'ral ou je me suis place", I peul prendre d'autres valeurs, mais il resle toujours plus grand que 1,987; j'ajoute qu'il est toujours plus petit que 2,04. On voit que les limites entre lesquelles peut varier I sont encore tres rap- proche'es. SDR LA FIGURE DE LA TERRE Bulletin astronomique, t. 6, p. 5-u (Janvier 1889). 1. Les r<5cents travaux de MM. Stieltjes, Tisserand, Radau et Gallandreau ont appeltS de nouveau Fatten tion sur la question de la figure de la Terre, que Ton croyait ^puistSe. Ces travaux semblent montrer qu'il est difficile de trouver une loi des densit^s qui satisfasse a la fois a la valeur observe de 1'aplatisse- ment et a la valeur observee de la precession. J7ai pens£ qu'il ne serait pas inutile de reprendre le probl&me en me placant a un point de vue nouveau. J'adopterai les notations de M. Radau; j'appellerai done : a, le rapport du rayon du sph^roi'de consid<5r£ au rayon du globe entier ; s, 1'aplatissement de ce sph^roi'de; p, la densit^ de la couche sphgroidale envisag^e; D, la density moyenne du sph<3roide entier. Je d^signerai par les indices o et i les valeurs de ces diverses quantit^s au centre et a la surface, et les d6riv6es par rapport ft a par des accents. Je poserai, comme M. Radau, 0£' = £ et je poserai de plus 126 LA FIGURE DE LA TERRE. Dans ces conditions, liquation differ entielle de Clairaul peut se metlre sous Time cles formes suivantes : 571 -+• 7)2) D -4- 2a(l •+• 7j)D' = O, derivee logarithmique de D \Ji-+--r\ = -. 7-7 • D'autre part, la condition qui determine I'aplatissemenl a la surface peut s'ecrire 7]! = 0,543. Le problSme est ainsi enticement determine. Apr6s avoir etabli ces formules, M. Radau montre quc, si YJ va constamment en croissant du centre a la surface, il est impossible de salisfaire a la fois aux observations de precession et aux observations geodesiques. J'ai ete ainsi conduit a me poser les deux questions suivantes : i° Serait-il possible de satisfaire aux observations en renoncant a 1'hypo- th&se que Y) doit &tre constamment croissant? 2° Si cela est impossible, quelle sera la distribution des densites qui, pour une valeur donnee de la constante de precession, conduira a une valeur maximum de 1'aplatissement, c'est-a-dire a une valeur aussi rapprochee quc possible de la valeur observee. 2. Voici le syst&me de representation dont je ferai usage. Je representerai un mode quelconque de distribution des densites par une courbe C dont les differents points auront pour coordonnees les valeurs de YJ et de £ dans les differentes couches qui composent le spheroi'de terrestre. D&s que cette courbe C sera connue, on possedera toutes les donnees du probl&me. On a, en effet, da df\ t comme nous connaissons £ en fonction de vj, nous pouvons ecrire , r df\ loga=/ y, ce qui nous donne a en fonction de 73. Liquation de Clairaut donne ensuite log(D v^R) = const. - C ON v l/ J LA FIGURE DE LA TERRE. 127 ce qui nous donne D en fonction de YJ (et par consequent de a) a un facteur constant pres ; ce facteur constant se determine d'ailleurs sans peine, puisque DI est une donne'e de la question. Connaissant D en fonction de «, on en d^duira p en fonction de a. La courbe G de'finit done la loi des densites. Voyons maintenant a quelles condi- tions doit satisfaire cette courbe pour e"lre acceptable. Supposons qu'on parcoure cette courbe G depuis le point A, qui correspond au centre de la Terre, c'est-a-dire a a = o, jusqu'au point B, qui correspond a la surface du globe, c'est-a-dire a a — i . Alors a devra aller constamment en croissant, et par consequent dy devra e*tre constamment de me* me signe que £. Si done nous imaginons que les axes des YJ et des £ soient places comme le sont d'ordinaire les axes des x el des y dans le plan, la courbe devra e"tre par- courue de gauche a droite si 1'on est au-dessus de 1'axe des YJ, et de droite a gauche dans le cas contraire. En dehors de 1'axe des YJ, la courbe C ne pourra pas avoir de tangente verti- cale (c'est-a-dire parallele a 1'axe des £); on pourrait cependant admettre exceptionnellement une tangente verticale d'inflexion. Sur 1'axe des YJ, la tangente a la courbe C est, au contraire, toujours verti- cale (a moins qu'on n'admette que cette courbe a un point anguleux ou un point de rebroussement), except^ toutefois au point A. Au point A on doit avoir a = o; le point B est de'fini par la condition •n = o,543. de sorte qu'on doit avoir C ^\ JB T"""00- Gela montre d'abord qu'au point A, £ doit s'annuler, sans quoi 1'inte'grale serait finie. Supposons qu'au point A nous ayons YJ = YJO et lim — — =/t. II vient alors (77) restant finie pour v\ = Y30 ; d'ou a ==(7) — *10)A<|;(70, I2g LA FIGURE DE LA TERRE. <p (YJ) restant fmie pour YJ = nQ- Pour que a s'annule pour YJ = YJO, il faut et il suffit que h soil positif. Gela veut dire que la tangente au point A a la courbe C doit jfitre comprise dans Tangle form<§ par Faxe des rj positifs et par une parall&le £ 1'axe des £ positifs, c'est-a-dire dans le premier quadranl. Nous devons maintenant nous poser la question suivante : Quelles sont les discontinues que peut presenter la courbe C? Observons que la densild p peut 6tre discontinue, mais doit £tre toujours finie, et par consequent que D est toujours continue. De nitoie, % peut toe discontinue, mais doitrester finie, de sorte que n doit &tre continue. Si done la courbe C pr<3sente une discontinuity, c'est-a-dire si elle se ddcom- pose en deux arcs de courbe AD et EB ne se raccordant pas, les deux points extremes D et E seront sur une m£me verticale; on pourra supposer les deux arcs de courbe raccord^s par un segment de verticale DE. 3. Jusqu'ici nous ne nous sommes pas pr6occup£s de la condition nous allons maintenant en tenir comple. Posons D=~-hp, p = d'ou !« ^ 9 et, en tenant compte de la relation d(a*D) = On doit done avoir ^ Ta c'est-a-dire que JJL doit croitre de la surface au centre. Nous sommes done conduits & construirc les courbes fx = const., quo j'appellerai courbes de densit&+ LA FIGURE DE LA TERRE. I2Q Liquation de Clairaut. nous donne ~H-ta( J'-TI— c Si nous regardons p. comme une constante et quo nous pronions la derivee logarithmique on observant que — = -~5 nuns trouverons cK, -h(2Tfi-4-5)rfr4 3 afrj __ on, en d<3veloppant, i -4- 1) aft = Tolle est liquation different idle des courbos dc donsitc. Celle Equation admet trois solutions particulit?res remarqnables : i ° La droite v\ = — i ; . 2° La parabole C + rr — *J — 6 = 0, qui correspond t\ /JL = o et quo j'appel- lerai la parabole P ; 3° La parabole £ -h yj- + 5 73 = o, qui correspond a 4a = oo et quo j'appellerai la parabole Pr. Cette Equation diff(5rentielle admet les points singuliers suivants : i° Le point 73= — i, £ = 4, que j'appellerai N et qui appartieiil a la fois aux paraboles P et P; et a la droite fi == — i ; 2° Le point yj = — i, J= ^» que j'appellerai S et qui appartient seuleraent a la droite YJ = — i ; 3° Les points 77 =: o, ? = o ; 73 = — 5, ? = o, que j'appellerai O et R et qui appartiennent a la parabole P' ; 4° Les points 77 = 3, ? = o; vj = — 2, C — o, que j'appellerai Q et Q' et qui appartiennent a la parabole P. Une discussion facile montre que par les points N, O et Q' passent une infi- nite de courbes de densite, tandis que par les points S, R et Q passent deux de ces courbes settlement. En d'autres termes, pour employer les denominations H. P. — VIII. I7 i3o LA FIGURE DE LA TERRE. que j'ai introduites dans mes M<3moires sur les courbcs d^finies par des Equa- tions diflferentielles, les points singuliers N, 0 et Q' sont des nceuds, tandis que S, R et Q sont des cols (voir fig. i). Comme YJ reste toujours positif et que, d'autre part, p est essentiellement positif, on n'aura jamais a sortir de la region du plan que je couvre de hachures sur la figure i et qui est limit<3e par 1'axe des £ et par les paraboles P et P'. Nous devons done tout d'abord nous proposer do construire les courbes de density qui sont contenues dans cette region. II existe d'abord une courbe de densit^ exceptionnelle OMQ qui va du Fig. i. point O au point Q et qui, par consequent, partage la region hachurge en deux regions partielles. II importe de remarquer que cette courbe OMQ ne va pas couper 1'axe des r\ entre le point O et le point Q ; en cffct, il est ais<5 de trer que sa tangente au point Q a pour coefficient angulaire ce qui montre que cette langente est parall&le a une droite du premier qua- drant. Si la courbe OMQ allait couper la droite OQ en un point M situt* entre O et Q, il y aurait (d'aprSs un th<$or£me quo j'ai d&nontr<3 dans mon M^moire sur les courbes d^finies par les Equations difF^rentielles) eutre Q et M un point ou 1'axe des r\ serait tangent a une courbe de density, ce qui est impossible; car, en tous les points de cet axe, la tangente a la courbe de density est verticale. LA FIGURE DE LA TERRE. l3l On d^montrerait de m6me que, si 1'on excepte le point O, aucime courbe de density ne peut couper la droite OQ en plus d'un point. Les courbes de density prgsentent done Taspect que leur donne la figure 2, oil elles sont repr6sent6es en trait plein, pendant que les axes sont en pointillt*. Fig. a. SUR LA. FIGURE DE LA TERRE Bulletin astronomique, t, 6, p. 49'fo (ttvrier 1889). 4. Quand on parcourt la courbe C du point A au point B, a doit croilre de o a i et, par consequent, p doit decroitre; on doit done avoir dj + (*i\ + 6) dv\ _ _ . Q -+-TiH-r, S p- Si 1'on fait, par exemple, d-r\ = o, rfC > o, cette in6galit<£ est satisfaite. II faut alors que la direction de la tangente a la courbe G, en tenant compte du sens dans lequel cette courbe doit &tre parcourue, soit du m£me c6t6 de la tangente a la courbe de density qu'une droite verticale parcourue de has en haut. Pour exprimer ce rt^sultat d'une fagon plus nette, faisons la convention suivante : Nous avons vu que la region, comprise entre les deux paraboles P et P' est partag^e par la courbe OMQ en deux regions partielles et que chacune des courbes de density est comprise tout enti&re dans Tune de ces regions partielles, dont elle ne peut sortir. Celles de ces courbes de density qui appartiennent ^ la region partielle OMQN coupent la droite OQ en un point et un seul. Si une courbe de density coupe la droite OQ en M' et qu'une autre courbe coupe OQ en My/, convenons de dire que la premiere courbe est plus avanc^e LA FIGURE DE LA TERRE. 1 33 que la seconde si M' est a droito de M". De ceite facon, une courbe de density appartenanl a la region ONQM sera d'autant plus avancee qu'elle s'^loignera davantage de la parabole P et se rapprochera davantage de la parabole P et de la courbe OMQ. Cela pos<3, on voit que, si Ton parcourt la courbe C du point A au point B, celte courbe ira couper n^cessairement des courbes de density de plus en plus avanc^es si £ est positif et, au contraire, des courbes de densit^ de moins en moins avanc^es si £ est n^gatif. II rdsulte de la que la courbe G ira en s'6loignant de la courbe OMQ d&s qu'elle sera au-dessous de la droite OQ ; elle ne pourra done franchir cette courbe OMQ, ni sortir de la region OMQN. En particulier, 73 est toujours plus petit que 3. 5. Occupons-nous main tenant de la condition relative a la density a la surface. On peut admettre qu'a la surface on a a peu pr&s d'ou 4u = i, a = i et *n — 6 = 0. Si vjt = o , 543, on trouve a peu pr&s C = i,7; le point B devrait done avoir pour coordonnges TQ = 0,543, 5 = 1,7- Si nous consid^rons maintenant un point du sph^roi'de terrestre tr^s voisin de la surface, il pourra arriver, si la density varie tr^s rapidement dans le voisinage de la surface, que la density de ce point ne soit pas 6gale & - ; mais, comme la density va toujours en croissant de la surface au centre, elle devra 6tre toujours plus grande que -; on a ainsi 5>2-' et l — 6<0, 1 34 LA FIGURE DE LA TERRE. La courbe 2£H-2-n2H- 4-0 — 6 = O est une parabole que j'appellerai la parabole P", qui est comprise entre les deux paraboles P el P' et qui va passer par le point N. Comme nous connaissons la valeur de Faplatissement a la surface, nous savons que v\i~ 0,543, et nous en concluons que le point B est a Pintersection de la parabole P" et de la droite YJ = o,543. Mais, si nous ne connaissions pas 1'aplatissement, nous saurions seulement que le point B est sur la parabole P'7 et sur Fare EF de cette parabole compris entre le point E, intersection de P" et de Taxe des f, et le point F, intersection de P" et de la courbe de density OMQ. Nous saurions ainsi que YH est plus petit que YJ du point F, ce qui nous donnerait une limite de Paplatissement, G'est 1& un r^sultat bien connu, du a M. Tisserand. 6. Cherchons maintenant liquation des courbes en termes finis. Quand on suppose, comme au paragraphe 3, X D«-+Xn et que Ton fait fx = i , liquation de Clairaut s'gcrit ( Ia2eff— e j (~ -hi J -4-(a£f-4-e) = o. On trouve facilement une int^grale particuli&re de cette Equation : c'est d'ou ou C'est encore liquation d'une parabole et cette parabole n'est autre chose que la courbe de density OMQ; on v^rifie aisdment qu'elle passe par les points O et Q et que sa tangente au point Q a bien pour coefficient angulaire -r- = 3. LA FIGURE DE LA TERRE. 1 35 Une autre integrate particuli&re de liquation de Clairaut est d'ou, pour Fintggrale g£n<5rale, £ — — (X constante ^integration) et, pour liquation g6n£rale des courbes de density 7. Jusqu'ici nous avons admis que le point A, extr£rnit6 de la courbe C, pouvait se trouver en un point quelconque du segment de droite OQ. Cela n'est pas possible, si Ton veut que la density au centre de la Terre soil finie. Nous avons en effet , D */i -f- 1\ c"^ &n •+• rf dt\ . r dt\ Iog]^r^i=-4^^)T et Iosa=4T- Au point A la premiere de ces integrates doit 6tre finie et la seconde infinie. Cela ne peut avoir lieu que si, en ce point, le rapport des quantity sous le signe I est nul, cjest-a-dire si d'ou Ainsi, le point A se confond avec le point O et, si Ton supposait que ce point A ftit tout autre point de la droite OQ, il faudrait admettre 6galement que la density au centre est infinie, ce qui ne peut pas 6tre le cas de la "nature. Je dois maintenant expliquer pourquoi je nTai pas cru devoir laisser complfc- tement de c6t<§ les lois de density inadmissibles au point de vue physique, qui correspondent a des courbes C se terminant en un point de OQ different du point 0. C'est que, s'il est impossible que la density suive exactement une de ces lois, elle peut du moins les suivre a trfcs peu pr^s, sauf dans le voisinage immgdiat du centre de la Terre. C'est ainsi que G. Darwin a cru pouvoir examiner le cas ou la density est proportionnelle a une certaine puissance negative de a; il admettait gvidemment que la density, apr^s avoir suivi cette loi jusqu'a une tr&s faible distance du centre, suivait ensuite une loi toute l36 LA FIGURE DE LA TERRE. diffe* rente jusqu'au centre; qu'il y avail ainsi au centre de la Terre une sorlc de noyau ou la densite variait suivant une loi inconnue, mais trop petit pour que la distribution de la matiere a Finterieur de ce noyau put influer d'une facon sensible sur Faplatissemeiit ou sur la precession. Dans noire mode de representation, la loi de G. Darwin serait representee par une courbe G reduite a un point unique, a savoir au point Quand done la courbe C aboutira £ un point de OQ autre que 0, il restera sous-entendu que cette courbe ne represente qu'approximativement la loi des densites, et que la courbe veritable, apres avoir suivi la courbe G jusqu'a un point tres voisin de A, s'en detache ensuite et va aboutir au point O, sans jamais s'eloigner sensiblement de la droite OQ. Une derniere remarque au sujet du mode de representation adopte. Si la courbe G coupe la droite OQ en un autre point que le point A (Finter- section se faisant a angle droit comme nous Favons vu), elle peut representer une infinite de lois de densite differentes. Imaginons, en effet, une courbe G partant du point A, confondu ou iion avec O, coupant ensuite la droite OQ en un point D et aboutissant enfin au point B, et cherchons ensuite comment varie a quand on parcourt cette courbe. Au point A, a est nul; quand on parcourt Fare AD, a va en croissant, et tend vers une certaine limite #0 quand on se rapproche indefiniment de D. Au point D, on a v\ = YJO, £ = o; si Fon suppose que Fon stationne quelque temps en ce point, on aura pour Faccroissement de log a, pendant la durtie de ce stationnernent, ,/f ' d-f] est nul, parce que YJ ne varie pas pendant le stationnement; £ est nul : done Fintegrale est indeterminee, de sorte que, quand on quitte de nouveau le point D, la valeur de a peut ne plus 6tre egale & a(} et 6tre devenue a4. Quand ensuite on parcourra Fare DB, on croitra de a± a i , Le rapport de a^ a a0 est indetermine . II est aise de voir que, pour les valeurs de a comprises entre a0 et a1} la densite varie en raison inverse d'une certaine puissance de la distance. II peut arriver, en particulier, que le point A se confonde avec le point D : dans ce cas, a0 est nuL LA FIGURE DE LA TERRE. 187 8. M. Radau a demontre I'identitg suivante : D d'ou il est permis de conclure, puisque ~- est esseiitiellement positif, /* O .. 5-,' ? etant 1'une dcs valeurs que peut prendre ~n quand a varie de o a i . Comme YJ reste toujours compris entre o et 3, ainsi que nous 1'avons vu plus haul, il j a lieu de chercher comment varie la fraction quand £ varie de o a 3. On trouve que la d&rivee de cette expression ne s'annule que pour \ = o et >- i pour £ = o* Nous sommes done conduits a substituer dans 1'expression les valeurs o, i et 3, ce qui nous donne i, i, 0008 et 0,8. On voit de plus que 1'expression devient £gale a i pour g = 5 — \fiio = o,53. Ainsi, £ variant de o a |> F expression croit de i a 1,0008; g variant de ^ a o,53, 1'expression d^croit de i ,0008 a i ; \ variant de o,53 a 3, elle d^croit encore de i a 0,8. On a done D , . Les observations de la precession exigeraient II est done impossible djy satisfaire. H. P. — VIII. l8 j38 LA FIGURE DE LA TERRE. 9. Ayant ainsi reconnu I'impossibilit^ de satisfaire exactement aux obser- vations, nous devons maintenaut, par le calcul des variations, chercher quelle est la loi des densit^s qui y satisfait le mieux. Je dois ajouter toutefois que cela n'a gu&re qu'un int6r6t de curiosity carun grand noinbre de lois tr£s diflferentes y satisfont presque ggalement bien, et celle qui y satisfait le mieux n'est pas pour cela sensiblement plus probable que les autres. II faut chercher la variation de Fint^grale A cet effet nous allons poser D d'ou d) u 4 v»1' et, d'autre part, On trouve en outre, en diflferentiant liquation (i), ce qui donne — i C ««rfa»87i(i^-7j)"»« Ce*a 2J0 J (3) L'int^gration par parties montre ensuite que le second membre de F6galit6 (3) se r^duit a M X1 /l „ , f , <5«8wrfa5 aw' L Le terme tout connu s'annule aux deux limites ; en effet, il contient a en fac- teur, il s'annule done pour a = o ; de plus, pour a = i , 8 u est nul; car la valeur de u pour a = i , qui est log(D4y/i + YH), est une donn^e de la question. Si 1'on observe ensuite que LA FIGURE DE LA TERRE. on verra que le second membre de (3) se r^duit simplement a 2 /H- Tj(7)2-f- 2TT) -f- 5)2 de sorte que liquation (2) se rgduit a /' ou J3V— TI — Z Si Ton veut que cette Equation soil satisfaite quel que soil <3&, II faut que Ton ait v (3V- TJ) (?!*-*- 2-n- 5) 3^2+6^ — 1 C'est la liquation d'une certaine courbe que j'appellerai la courbe K. Les valeurs reinarquables de 73 entre f] = o et YJ = 3 sont les suivantes : i v/12 — 3 ... Tq=-, TI = -I — ^ - =0,155. d£ Pour TI = o, on a .......................... £ = o, -r- == 5 rftj Pour o < -jq < o, i55, on a .................. £ > o Pour TI s= o, i55, on a ...................... S = °° Pour o,i55 <i\ < 5 on a Pour TI as ? on a Pour 7i>-,ona «j Ainsi la courbe K, qui poss^de une asymptote verticale T\ = o,i55, coupe la droite OQ en deux points, a savoir au point o et au point YJ = ^ •> II est ais^ de voir quelle est la portion de cette courbe qui convient a la question ; c'est 1'arc compris entre le point A, qui a pour coordonn^es et le point B, qui a pour coordonnees il = o,543, ^ = 0,8. l4o LA FIGURE DE LA TERRE. Calculons ensuite D et p; on trouve , - r ( log D^i4-,- const, -j 2(l Lorsqu'on parcourra la courbe K du point A au point B, la quantit<5 sous le signe C restera essentiellement positive; done D\/i + rj ira en de'croissant et, comme \Ji + YJ est croissant, D sera de'croissant. Liquation de Clairaut nous donne ensuite P __ 6 + TJ — 7)2 — £ _ — 67)4 — 87)3+ i27)2 + 4o7j — 6 6(1 + 7))(37)2-f-67) — i) ou D ~~ 6(x -HTJ) ""6 Dans la premiere fraction, le nume"rateur de'croit etestpositif, le d^nominateur croit : done la fraction de'croit; il nous reste a examiner la seconde fraction. La de"rive"e logarithmique de cette seconde fraction s'6crit 37 - — 5i 3 ou 5- \j (37-7) -5 I) (37)i + 6ti -i) Sous cette forme, il est aise" de voir que cette derived logarithmique est negative et, par consequent, que ~ de'croit et que p est dvcroissant, ce qui est la condi- tion pour qu'une loi des density's soit admissible. La courbe K, ou plutot la portion de cette courbe comprise entre les points A et B, repr£sente done une loi des densites admissible, et cette loi est celle qui correspond au minimum de la quantite que Von a coutume d'appeler I et qui est d£finie par V&galit6 D i j- a =i— -j- LA FIGURE DE LA TERRE. l£l 10. II pent 6tre int^ressant de recherclier quelle est la loi qui repond an maximum de cette m£me quantity I; Pexistence de ce maximum est certaine, puisque M. Tisserand a d£montr<£ (Bull. astroti.^ t. 1, p. 4*9) l'in£galit<5 i< 2,0288. Cependant, le calcul des variations ne nous donne aucun maximum; il n'y a qu'une loi des densites pour laquelle lu variation dl est nulle, c'est celle qiu correspond an minimum dont nous avons paiiu dans le paragraphe precedent. Nous devons done conclure que I n'aurait pas de maximum si la loi des densites 6tait complement arbitraire, et que si I est limile, cnest parce qne la density est assujettie a &lre decroissante. Pour qu'il y ait maximum, il faut que, quelle que soit la variation dp de la densit<5, la variation dl ne soit jamais positive. Or, si dp 6tait entitlement arbitraire, cela ne pourrait avoir lieu que si ol tStait toujours nulle, et nous venons de voir que cette hypoth^se conduisait a une solution inadmissible. S'il y a maximum, c'est done que dp n'est pas entiferement arbitraire; comment cela peut-il se faire ? Si p etait constamment d^croissant et qu'on donnat a dp des valeurs suffisamment petites mais d'ailleurs arbitraires, p -J- dp serait encore d(5croissant, de sorte que ces valeurs de dp seraient admissibles. Ainsi dp est arbitraire, a moins que p ne soit constant; si, au contraire, p est constant, dp doit 6tre dgcroissant et n'est plus arbitraire. Le maximum de I correspond done a une courbe de densite. II ne reste plus qu'a comparer entre elles les diflferentes courbes de density. Comme 1'equatioii g£n£rale de ces courbes ne contient qu'un seul param^tre arbitraire, I n'est plus fonction que de ce param&tre. Alors I atteindra son maximum soit lorsque sa d£riv6e par rapport a ce param&tre s'annulera, soit quand la courbe de densit^ se r^duira a une des courbes extremes qui correspondent aux cas de p. = o ou /JL = oo . On v^rifierait que la premiere doit 6tre rejet6e; parmi les trois courbes extremes (/JL = O, fA^= oo) qui sont les trois paraboles la derni^re est seule admissible. Elle correspond au cas suivant : j 42 LA FIGURE DE LA TERRE. La density du globe est constante et £gale a Ajunf; de plus, un point materiel de masse finie <§gale a | TT^ se trouve au centre de la Terre ; on a alors et Ton trouve on a a la surface D'ailleurs, djapr&s la definition de I, il vient 3Dl5 Mais on sail que 711==A?_2) ce qui donne I =3 =- 2,0288 i — Le maximum de I est done prt5cis£ment la limite sup&rieure trouvtSe par M. Tisserand. Cette limite peut 6tre atteinte ou plut6t on peut en approcher autant que Ton veut. 11. L'analyse qui pr^c&de est celle par laquellc j'avais <H6 conduit aux conclusions 3nonc<5cs dans une Note r^cemment ins<§r<§e aux Comptes rendus de VAcad&mie des Sciences. Depuis, M. Gallandreau a montr£ (BulL astroti*, t. 5, p. 4?3) que le r<5sultat le plus important, c'est-a-dire rin6galit<$ vj<3, peut ^tr^ d^duit presque imm^diatement des Equations de Clairaut. Pai ci"u n<5anmoins devoir reproduire mon analyse primitive, parce qu'elle me conduit a d'autres in($galit(§s importantes et qu'elle me fait connaitre entre autres le syst&me complet des in£galitt5s auxquelles satisfont les quantities YJ et ?• Les m6mes principes pourraient d'ailleurs, comme je me reserve de le faire voir plus tard, conduire au syst£me complet des inggalitgs auxquelles satisfont les quantit^s TO, £, s, a, p et D. LES MESURES DE GRAVITfi ET LA GEODESIE Bulletin astronomique, t. 18, p. 5-39 (Janvier 1901 ). I. Tout le monde regarde les observations du pendule comme le compli- ment ngcessaire des mesures ggodgsiques ; mais on ne s'est pas toujours rendu exactement compte des v^ritables relations qui relient ces deux series de donn^es obtenues par des moyens si diflferents. II y a une circonstance qui a probablement d£j£ 6t6 remarqu^e, mais sur laquelle on n'a peut-6tre pas suffisamment insist^ : c'est que les observations du pendule ne viennent pas seulement nous fournir un complement aux mesures g£od<3siques, mais elles pourraient les remplacer compl&tement si elles pouvaient 6tre assez multipli^es et si elles ^taient suffisamment exactes. De m6me, d'ailleurs, les mesures g^od^siques, si elles 6taient parfaites, pourraient dispenser des observations pendulaires. Bien entendu, je ne veux pas dire qu'il faut renoncer aux mesures g£od£- siques. Les deux mgthodes d1 observation ne sont ni 1'une ni 1'autre assez precises pour qu'il ne soit pas mScessaire de les contrdler 1'une par Pautre. Mais, pour que ce contr6le soit possible, il faut justement se rendre bien compte de la nature de leur d^pendance mutuelle. C'est l£ le but du present travail. Je me suis done propose de donner une formule propre £ d^duire la forme !44 MESURES DE GRAVITY ET LA G^ODESIE. du g^oi'de dcs scules observations pendulaires, et en particulier la dtfformalion locale du gtSoi'de provenant d'une perturbation locale de la graviliS. Celte formule est celle que je donno plus loin [§ IV, form. (i)]. Une remarque avanl d'ullcr plus loin : clans un ariicle ivcemiuenl public dans la Revue gtnerale des Sciences, M. Brillouin a expose qiielquos idtSes origin ales. 11 a fail remarquor quc la di'fmilion habiluelle du gtVide comporle line ambigui"l6. On dit d'ordinairc que c'osl la proloiigalion id&ale de la surface dos mers au-dessous du sol des continents. Mais qu'entend-oii par la ? Est-ce la surface qu'un nivellemenl op£r£ sous lerre dans des galcrios de mines monlrerait £tre parlout de niveau avcc les oceans ? C'osl la une premiere definition, et j'appellerai Gi le gtSoXdo ainsi dttfini. Mais esl-ce bicn la le veritable prolongemenl de la surface des mers ? II ost permis d'en douler. Dans tous les cas ou la forme de la plan&te est susceplible d'une definition g<5om€lriquc ct ou la densittj est supposes donnee par imp formule analytique, il esl ais£ de conslaler que la surface des mers et cellc du gctoide GI sont d6finies par des Equations dont les premiers membres son!, des fonctioiis analjtiques entierement differentes. Faisons7 par exemple, une hypoth^se aussi simple que possible. Lo noyau solide de la plan&te a la forme d'un ellipsoi'de et sa density est conslante. 11 n'y a pas de rotation. Le noyau est partiellemenl recouvert par une masse liquide, qui joue le r6le de nos mers, mais dont la densite est n£gligeable. II est ais(5 alors de d^finir le g6oide G4 qui prolonge la surface de cetlc mer sous la partie du noyau solide qui n'est pas recouverte; on constate alors que la surface G4 est un ellipsoi'de, tandis que la surface de la mer est une surface transcendante. Pappellerai done Ga le ggo'ide qui esl la continuation analytique de la surface des mers au-dessous des continents. Pour nous rendre compte de la difference entre les deux ggoides nous alions prendre un exemple simple, auquel d'ailleurs tous les autres cas "pQvcventjprati- quement se ramener. Imaginons que, dans une region determin^e, la surface de la Terre s'<Sl6ve au-dessus du g^oi'de, que dans cette region cette surface se rgduise ^ une portion de sphere, dont le rayon sera R et dont le centre ne coi'ncidera pas en g(5n6ral avec celui de la Terre; et enfin qu'entre cette surface sphtSrique ct le g^oide la densite soit constante et <5gale i p. MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. l45 Soil W le potentiel total; ilse composera du potentiel U du a la force centri- fuge et du potentiel V du a Tattraction. Ce dernier pourra lui-m^me 6tre d<2compos£ en deux parties : i° le potentiel Vi du a une sphere attiranle S homog&ne de density p, de centre C et de rayon R; 2° le potentiel V2 du aux masses attirantes suppltSmentaires, c'est-a-dire a la partie de la plan&te qui esl ext&rieure a la sphere S et de masses r^parties a Fintgrieur de cette sphere et dont la densit^ p' sera <5gale a la density r^elle de la Terre au m£me point diminu<5e de la Constance p; on peut d'ailleurs concevoir qu'en certain^ points p' soit nggatif. On aura alors Dans la region envisages, entre la surface spli<5rique qui est celle de la Terre et celle du g^oide, la density de la Terre est suppos^e £gale a p ; par consequent, p7 est nul; il n7y a done dans cette region aucune des masses suppl^mentaires qui engendrent V2. Done V2 est dans toute cette region une fonction analytique et peut toujours 6tre reprt5sent<3e analytiquement par la m£me formule. De m^me U est fonction analytique dans tout Fespace. Venons a Vi ; soit r la distance du point (5?, y, z) a G; on aura V1== M (pourr>R) 3M Mr2 . ^^ Vi=rp~Tmr (pourr<R) Si done j'appelle V\ la continuation analytique pour r <C R de la valeur de Vi pour r >> R, on aura 3M Mr2 M 2R3 r Si j'appelle de mSrne Wf la continuation analytique a 1'intdrieur de la surface sph^rique de la valeur de W a 1'ext^rieur de cette surface, nous aurons 3M M/-- M Soit maintenant r = R — e ; cette difference e, qui sera tr&s petite, repr^sentera a peu de chose pr&s 1'altitude de la surface de la Terre au-dessus du g£oide. Or on trouve, en n6gligeant s3, H, P. — VIII. 19 j 46 MESURES DE GRAVIli ET LA G^ODESIE. Soil maintenant i la difference de niveau entre le gtSoide Gi dont liquation est W = const. , et le g^oi'de G2 dont liquation est W == const. Nous pourrons ecrire W'— W = -£>8, d'ou 3Me* 4* 3 p- _ __ ~" ~ 3 2 Or on a sensiblement A £tant la density moyenne de la Terre et R0 son rayon; il vient done *___31 11 2 A Ro* Ainsi la distance des deux g^oides est proportionnelle au carr(5 de 1'allitude; elle est d'un peu moins de om,i2 pour une altitude de ikm et d'un pen moins de 2m pour une altitude de 4km- L'influence sur la gravity est plus grande. On a, en effet, sensiblement, dr et si jjappelle g1 la continuation analytique, a 1'int^rieur de la sph&re, de la valeur de g a 1'ext^rieur de cette sph&re on aura *=— 3F ' d'ou — W) rf(W— W) L'alt£ration de la gravity est proportionnelle a la premiere puissance de la gravity. Rappelons qu'on a propos6, pour rt^duire le pendule au niveau de la mer, deux corrections : i° La correction Je Tappellerai correction de Faye^ bien qu'elle soit connue depuis fort long- temps, parce que M. Faye a le premier propose de ne pas faire d'autre correction. MESURES DE GRAVITE ET LA GEODES1E. l4? 2° La correction _3.£ ± 2* A Ro qui est connue sous le nom de correction de Bouguer et qui est destinee a tenir compte des masses contin en tales. Nous devons done envisager : i° La valeur de la gravity, affectee de la correction de Faye seule, c'est ce que serait la pesanteur a la surface du geo'ide, si les masses continentales etaient condensees sur celte surface, ou plut6t, pour plus de precision, dans une couche infiniment mince situee au-dessous de cette surface. Ce n'est pas autre chose que ce que nous avons appele gr. 2° La valeur de la gravite, affectee des corrections de Faye et de Bouguer, c'est ce que serait la pesanteur a la surface du geoide, les masses continentales etant rasees ; c'est ce que j'appellerai g1*. 3° La valeur qu'aurait la gravity a la surface du geoide, si les masses continentales subsistaient telles qu'elles sont. C'est ce que j'ai appele g. Dans le premier cas, les masses continentales sont au-dessous du geoide, elles attirent de haut en has; dans le second, elles sont supprimees, elles n'attirent pas du tout; dans le troisifcme, elles sont au-dessus du geoide, elles attirent de has en liaut. On aura done On s'explique ainsi pourquoi la difference g — g est le double de la correc- tion de Bouguer. M. Brillouin adopte le geoide G2, ou plutot, afin d'enlever a la definition ce qu'elle a d'un peu abslrait, il rapporte tout a une surface de reference G'2 qui n'est plus la surface des mers, mais une surface de niveau ext^rieure a toutes les masses attirantes. Outre les g<5oi*des Gi et G2, il conviendrait de consid&rer le geoiide de M. Helmert, dont la definition est plus compliqu6e. Le choix de M. Brillouin me parait tout a fait judicieux; je remarquerai tou- tefois que, dans ce qui va suivre, je n'aurai pas a me pr£occuper de la difference des deux geoi'des, puisque je negligerai s2. J'aurai, au contraire, a tenir compte de la difference entre les deux valeurs de g qui contient s a la premiere puissance, et nous verrons plus loin que c'est la valeur g1 (c'est-a-dire la valeur affectee de !^8 MESURES DE GRAVITE ET LA G^ODESIE. la correction de Faye seule) qui intervient dans la determination de la forme du geoi'de. Quand je parle de la determination de la forme du geo'ide, je ne me pre- occupe pas seulement de recherclier la meilleure valeur de Faplatissement. Cette consideration passerait plutdt au second plan et il s'agit avant tout de rechercher de combien le geoide s'ecarte de la forme ellipso'idale. L'incertitude sur 1'aplatissement doit en effet ,6tre aujourd'hui regardee comme du mgme ordre de grandeur que les coefficients des termes non ellip- so'idaux. II. Une des difficult*^ que nous rehcontrerons est la suivanle : si nous voulons developper le potentiel en une serie de fonctions spheriques, le deve- loppement ne sera valable qu'a Fexterieur d'une sphere, exterieure elle-m&me a toutes les masses attirantes. II en resulte qu'il n'esl pas valable sur la surface m£me du volume attirant, si Ton excepte celui des points de cette surface qui est le plus eloigne du centre de la sphere. On peut se debarrasser de cette difficult^ grace a Fartifice de la condensation imagine par M. HelmerL, ou gr&ce a des artifices analogues. Imaginons d'abord que Ton decrive une sphere compl&tement interieure au volume attirant, mais qui s'ecartera tr^s peu de la surface de ce volume, puisque cette surface est sensiblement spherique; la distance de cette surface a la sph&re est de Tordre de Taplatissement, Nous prendrons pour unite le rayon de cette sph&re. Supposons ensuite que les masses attirantes exterieures a cette sphere soient condensees sur la surface de cette sphere, c'est-a-dire transportees sur la surface de la sphere au point le plus voisin de la position qu'elles occupent reellement. La masse totale ainsi condensee est de Fordre de Paplatissement; la distance de la position reelle de chaque masse partielle a la position fictive qui lui esl attribuee par suite de la condensation est aussi de Fordre de Faplatissement. On conclut aisement de 1A que Ferreur ainsi commise sur le potentiel V est de Fordre du carre de Faplatissement, Nous pouvons done la negliger. Mais il faut nous rendre compte de Ferreur commise sur #-, ou plutdt, ce qui revient au m£me, comme on le verra plus loin, de Ferreur commise sur -^» Soit done 9 le potentiel du aux masses attirantes exterieures a la sphere. Soient M; une des masses attirantes, M le point attire, O le centre de la MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. I/fe sphere, r1 la distance OM', r la distance OM, i Tangle M'OM, p la distance MM', de telle sorte que p2 —. r'2 .+. 7-2 — 2 rr' COS ^ j il viendra ^jSr-sm^e^ ou 3 dgsigne la density de la mati&re attirante et 6 Tangle du plan MOM7 avec un plan fixe passant par OM. Nous pourrons poser y —I ~' — -> — A a £ ^tant une constante de Tordre de Taplatissement, de telle sorte que z et z sont finis. Nous aurons smfydfy = hdh, et d'ailleurs, si je pose k-r<» rr\d% *~r\J, S J k sera une fonction de r' et de <j>, dont je ne veux retenir qu'une chose, c'est qu'elle est finie. Notre Equation devient ainsi /kh dh dzr , P dyou M On a d'ailleurs, Nous poserons ensuite A rr: s^7 et nous remarquerons qu'on doit alors faire varier £ depuis z^ro jusqu'a - qui est unetr&s grande quantity. Nous trouverons ainsi S-2C2 s(a — -s')-h(i-+-e«')-7-! p ( i ) I/expression qui figure au deuxieme membre de Tequation est en realitS la valeur de — ^ • d>9 d-9 II suffit, pour rectifier le calcul qui suit, d*y substituer parlout — -^ a ^- l5o MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. Nous poseroiis =» RJ, Soit alors nous aurons G = H- SM71^* - *') Nous aurons a examiner les diff&rents termes de 1' integrate -r- qui nSpondent aux diff^rents termes de G. Remarquons d'abord que tous ces termes restent finis pour £ = o, z = zr. En effet, si £ et z — z] sonl des infiniment petits du premier ordre, X sera du second ordre, p du troisi^me ordre, R0 du premier ordre. Le terme g6n<5ral de la premiere partie de G (je veux dire celui qui figure sous le premier signe 2) sera d'ordre n — i; le terme g£n6ral de la deuxi&me partie de G sera d'ordre n. Tous seront done au moins d'ordre — i , et les integrates correspondantes qui sont des integrates doubles resteront finies. Vojons maintenant comment toutes nos integrates se comporleront pour £ tr6s grand. Si £ est regard^ comme un infiniment grand du premier ordre, ^ esL du second ordre, f/, du second ordre, R0 du premier ordre. Le terme general de la premiere partie de G est de Tordre — 2; 1'intggrale reste done finie et, comme elle contient en facteur en+1, elle est de 1' ordre de e/H-4. Le terme general de la second partie de G est de 1'ordre [o, Fintegrale est done tr&s grande, de Fordre de £, ou plutot de Fordre des £w+2^. Comme la limite sup&rieure de ^ est-> Fmtegrale sera finalement de Fordre de £/H-4. Si nous n^gligeons done le carre de e, nous pouvons r^duire G au premier terme de chaque partie et ecrire G = e(j» — a') ' Le second terme lui-m£me peut considgrablement se simplifier; en effet, les MESURES DE GRAVITE ET LA G^ODESIE. l5l seules parties sensibles de I'int^grale sont celles qui correspondent aux grandes valeurs de £; nous pouvons done prendre La difference est d'ordre — 2 pour g tr&s grand, de sorle que 1'integrale correspondante reste finie pour £ = oo ; elle est done de Pordre e2, c'est-a-dire n£gligeable. Nous pouvons done 3crire, en ntSgligeant s2, Le premier terme repr^sente Pattraction des masses les plus voisines : c'est la correction topographique ordinaire. Quant au second terme, il pent se simplifier encore. On peut, en eflet, remarquer que - est sensiblement £gal a i , et il reste alors £ C^d&dz'dh, expression qui : i° est ind^pendante de r et 2° reste la m£me avant et apr&s la condensation. Quelle est done Finfluenee de la condensation sur g ? Cette influence no s'exerce que sur le premier terme de ^- II faut, non pas faire la correction topographique a la facon ordinaire, c'est-a-dire supprimer les masses les plus voisines ou bien encore supprimer le premier terme du second membre de (i), mais condenser ces masses sur la sphere de rayon i, c'est-a-dire remplacer ce premier terme par ce qu'il devient apr£s la condensation, soit par 'fSr^^' [Remarquons en passant que, dans le premier terme du second membre (i) comme dans 1'expression (2), nous pourrions au numc§rateur remplacer le facteur r'2 par i, 1'erreur commise serait de 1'ordre de e*.] Ce n'est pas autre chose que la correction de M. Helmert. Mais on peut employer dgalement 1'artifice de M. Brillouin. Si Ton n'a pas recours a la condensation, les d&veloppements en fonctions sphgriques seront encore valables, mais seulement ^ Fextdrieur de la sphere Si de rayon i 102 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODES1E. qui enveloppe toutes les masses attirantes. Le g^oi'de qui nous servira de surface de reference sera alors choisi de fagon a envelopper cette sphere. Quant a g, nous lui attribuerons sa valeur veritable pour les points exterieurs a la sphere; cette valeur ( ou plut6t celle de -7- qui en diff&re de qualities de Pordre de s- ) sera dans cette region d^veloppable en series de fonctions sph&riques. Nous feroiis au contraire subir une correction aux valeurs observes a I'int&rieur de la sphere. La valeur corrig^e sera, par definition, la valeur de^ au point de la sphere Si le plus voisin du point d' observation, cette valeur 6tant affectee de la correction de Faye (sans celle de Bouguer) pour tenir compte de la difference d'altitude. Soient V0 le potentiel du a Tattraction des masses int&rieures a la sphere de rayon i, U le potentiel du a la force centrifuge, la valeur de g sera (en nggligeaut e2 ) __ dV0 __ dU dv § ~dr ~~~dr~~ ~dr* Nous d^signerons par P(.s) et Q les deux termes du second membre de (i); par P0 (js) l'expression(2). On a done La valeur corrigde de M. Helmert est Voyons ce |qu'est la correcton de M. Brillouin. Soient M le point d'obser- vation, MI le point de la sphere Si le plus rapproche de M. D'un autre cdte, si M est la masse totale de la Terre, on aura __ ffVo ^ M dr r2 ' T &ant de 1'ordre de c. Liquation (3) devient alors (3 to) ^-5^T^S-P^)"Q' ou, en faisant r = i 4- ez et n^gligeant s2, Les Equations (3) et (3 bis) nous donnent la valeur observes de ^au point M. MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 1 53 Pour en d^duire la valeur de g au point Ml5 il suffit d'j faire z = £; Pu) se change ainsi en P(£). Les trois termes —--> Q et T ne subissent que des changements insensibles, de 1'ordre de s2. Quant a — 5 il passe de la valeur - - —- a la valeur - - ^ ou en negli- geanl s2, de la valeur M — 2Ms^ a la valeur M — 2Ms£. Nous trouvons ainsi (4) ^ = M Pour passer de cette valeur vraie au point MI a la valeur corrigee au point M, il faut, d'apr&s la convention que nous venons de faire, lui faire subir la correction de Faye qui est On trouve ainsi En comparant cette Equation a (3 ter): on voit que la correction de M. Bril- louin estP(s) — P(£)J tandis que celle de M. Helmert etait P(*) — P0(^)- Les deux corrections conduiraient d'ailleurs a une analyse toute semblable et a des r^sultats qui ne difF^reraient que de quantit^s de Fordre de s2. Dans ce qui va suivre, afin d'^viter la difficult^ signal^e, j'adopterai Thypo- th^se de la condensation. Les valeurs de g, dont il sera question dans la suite, seront done toujours les valeurs observees, affectees de la correction de M. Helmert. On peut trouver cependant que Fapproximation adoptee, qui est celle du carr^ de Taplatissement, nj est pas toujours suffisante. Pour la pousser plus loin, on peut d^velopper, non plus en series de fonctions sph^riques, mais en series de fonctions de Lam6. L' approximation est alors le carr6 des differences d'altitude et non plus le carrg de Taplatissement. C'est ce que j?ai fait dans le dernier paragraphe de ce travail. II convient alors de faire la condensation non plus sur une sphere, mais sur un ellipsoide, homofocal a ceux qui engendrent les fonctions de Lam6. On prendra cet ellipso'fde tr5s peu different d'un g<3o"ide. L'analys'e pr6c<5dente s'appliquerait sans changement a ce nouveau cas, et le r^sultat ne serait pas sensiblement modifi.6. Nous pouvons done, a condition de faire la correction de M. Helmert, employer sans crainte, soit les d^veloppements en fonctions sph^riq'ues, soit les d&veloppements en fonctions de Lam<5. H. p. — vm. 20 l54 MESURES DE GRAVIT^ ET LA G^ODESIE. III. Nous disposons dc trois series d'observations : i° Les mesures de pendule, qui nous font connaitre la valeur de g aux diffdrents points de la surface terrestre ; 2° Les operations de nivellement, qui nous font connaitre 1'altitude du point d'observation, ou plus exactement la valeur du potentiel "W en ce point. Je dis qu'il y a Equivalence entre ces deux £nonc£s. Soil, en effet, dh la diff'<3- rence d'altitude de deux points voisins, mesur^e directement par le nivellement; soil£* 1'intensitg moyenne de la pesanteur entre ces deux points, le travail dW de la pesanteur quand on passera d'un point a 1'autre sera 3° Les observations g£od<3siques, qui nous font connaitre la forme dug^oi'de, c'est-a-dire la distance d'un point de la surface du g<5oide, c'esl-a-dire de la surface (i) W = const. au centre de la Terre. Je d^signerai cette distance par R-{-£, rapportant ainsi le g<3oide a une sphere de reference de rayon R; de sorte que £ sera la distance du g6oi"de a cette sphere, compt^e sur le rayon vecteur. Nous nous arrangerons toujours pour que cette sphere de reference soit tout enti&re ext^rieure a la plan&te, de telle fagon que ? soit n^gatif. Je d^signerai par W0 la constante du second membre de liquation (i). Ce que je veux remarquer, c'est que ces trois series d'observations ne sonl pas ind^pendantes et m£me que si les observations de deux des series tStaient completes et parfaites, elles nous dispenseraient de la troisi&me. Je ntSgligerai d'abord le carre de Taplatissement; dans ces conditions, notre proposition et les consequences que j'en veux tirer sont aisdes & ^tablir. D6signons par x = r sin 6 cos<p, y = rsinS sin^p, ^ = rcos6, les coordonn^es d'un point quelconque ; par V le potentiel du a Fattraction seule; par U=— (o?2-{-y2) le potentiel du a la force centrifuge; par W = V + U le potentiel total. Gr&ce a la condensation, le d^veloppement de V sera de la forme MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 1 55 Xn tHant une fonction sph&rique d'ordre n de 0 et de cp et an un coefficient. Un seul des coefficients an est fini, c'est «0, qui est tel que #0X0 represenle la masse M de la Terre; un autre est de Fordre de Faplatissement, ions les autres sont encore beaucoup plus petits. Nous aurons d'autre part, U = U0-hU2, Oil /.\2 ».\2 U0= y(^-4-r~+~2), U2= — (a^vs-ass). D'aulre part, je developperai de la mteie maniere £, qui est fonction de 0 et de cp, et j'^crirai 5-E6.X,,, les bn £tant des coefficients dont deux seulement sonl de 1'ordro de 1'aplatis- sement et les autres beaucoup plus petits. Soit maintenant 7* = R + 75 le rayon vecteur d'un point de la surface terrestre ; nous aurons encore 'n = scnxn, les cn etant encore des coefficients de Fordre de Faplatissement on d'ordre plus petit. Quant a £•, c'est une force dont les trois composantes sont dW d\V dW ~Sf' ~df dz ' La composante dirig^e suivant le rajon vecteur est -r- ; soitTla compo- sante perpendiculaire a ce rayon, on aura T est de 1'ordre de 1'aplatissement, on peut done tScrire, en nt^gligeant le de Faplatissement, dr dr dr Or 2to2r 3" Dans les termes du d^veloppemenl de V, je mets en evidence, en le faisant 1 56 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. sortir du signe 2, le premier terme qui est le seul qui soit fini et qui pent s^crire 1Y M CtQ 7— * Xo = r II vient ainsi M 2w2 /r> . a)2 (0;--+- y2— 2^2)/D N ~ / D I M \ X ._ *y ' f t-t l_ fi \ Prr^- — -- - 3 - - -4- S(n -f- 1) anXn(R H- TI )-(«+«). Comme v?5 w2 et les an sont au plus de 1'ordre -de 1'aplatissement, nous pouvons £crire, en n^gligeant le carr£ de Paplatissement, D^veloppons g en s^rie harmonique, il vient #== S^«Xn. En remplagant rj dans liquation (2) par son d^veloppement et identiflant les deux d^veloppements, il vienl II y a exception pour deux coefficients : gQ (coefficient dc X0=± i) et celui que j'appellerai g-2, c'est-a-dire le coefficient de (i) (l) Les notations employees pourraient engendrer quelque confusion. II y a, en effet, fonctions sphgriques d'ordre n et par consequent a/i-t-i coefficients gn. II y a, en particulier, cinq coefficients gy Celui que je d6signe spdcialement par g^ (de m£me que ceux que j'ai designed ou que je designerai par a2, 62, c2, g'^, . ..) est celui de • r5 Les qualre autres pourront 6tre d^sign6s par 'rt1}. ^8). '^i ^24) et les coefficients correspondants par ^ W, cjf), ^, ...). On remarquera alors que les formules (3 ^er), (5 fer), (8 ter), etc., s'appliquent a g^ seuleraent^ tandis que les coefficients g\$ satisfont aux formules (3), (5), (8) ou 1'on doit faire, bien entendu, n = 2. MESURES DE GRAVITE ET LA GEOD^SIE. 1 5? On a, en effet, 2 Go \ 2 CO* R — ) -- IT' D'autre part, pour r = R -|-r£, W doit se rt5duire a W0 ; on a done ou en n^gligeant le carr6 de Faplatissement (4) W0=- Dans cette Equation, on remplacerait £ par son dtSveloppement ol 1'on trouverait ensuite en identifiant les deux d^veloppements M (5) T2 11 j a exception pour 60 et 62, qui sont donn6s par /e ,. w M M , 0)2 R2 ( 5 & w ; Wo"~^"hR5&°:=-h —3— ' (5 ter) ^ b% = -h ^g-^ -h a2R-3. Venons aux nivellements et reprenons la formule dW ~— Cette formule nous apprend que dW ^tant une diflferentielle exacte, il n'en est pas g6n6ralement de m6me de dh, de sorte que les polygones de nivellement ne se ferment pas exactement, a moins qu'on n'y fasse une correction appro- pri^e. On salt que les experiences ont montr6 jusqu'ici que cette correction est a peu pr^s de Tordre des erreurs djobservation, de sorte qu'on n'a pas avantage a la faire. Pour le moment, je me bornerai a remarquer que dh contient des facteurs de Fordre de Faplatissement et que g est £gal a ^ a des quantities pr^s du m£me ordre; on aura done, en n6gligeant le carrt5 de cet aplatissement, 1 58 MESURES DE GRAVITY ET LA G^OD^SIE. d'od w-w.-- -**, en appelant h Taltitude au-dessus du g^oi'de. En un point de la surface dont Taltitude est A, on aura done d'ou liquation dont le second membre diff&re de celui de (4) par la substitution de £ a YJ. En retranchant (6) de (4) et divisant par^j il vient (7) Pour demontrer cette formule (7), an carre del'aplatissementpr&s, ilsuffirail d'ailleurs de considerations g^om^triques tr6s simples. Les operations de nivellement nous donnent A; c'est-a-dire les coefficients Les operations g^od^siques nous donnent les coefficients bn et par conse- quent an. Les mesures de pendule donnent g, c'est-a-dire les coefficients On voit que deux quelconques des trois series donnent tout ce que donne la troisi&me. G'est ce que nous avions annonce. Voyons ce que cela signifie. On fait ordinairement subir aux observations du pendule deux corrections pour tenir compte de 1'altitude. La premiere COXTOC- tion (que j'appellerai correction de Faye} provient de 1'augmentation de la distance au centre de la Terre. Elle est £gale a 2— . . La seconde correction, dite correction de Bouguer, est deslin^e a tenir compte de Fattraction des masses plac^es entre le point d'observation el le niveau de la mer. MESURES DE GRAVITY ET LA GEODESIE. 169 Soil gj la valeur de la pesanteur affect^e de la correction de Faje, non affecttSe dc celle de Bouguer; on a 2AM — Or I __— _ - *» -*- :* ct si Ton pose il vient (8) - Pour g\ et g-'2, cette Equation doit £tre remplac^e par a W0 M ,or- (8 0 __ -TJ -- R5 (8 Nous nous servirons de ces formules pour montrer comment on peut calculer le rel^vement du g^oide, ^ en fonction de g' (intensity corrig^e de la pesanteur). Soit p la density d'une couche attirante quelconque r^pandue sur une sphere de rayon R; le potentiel du a cette couche sera a la surface de la spli&re V = SanXnR-(«H-D et les valeurs de Pattraction, a I'int6rieur ou a Textgrieur, seront dont la difference Or M le d<5veloppement dans le premier membre commengant par les termes ou n = 2 ; car on peut supposer que Forigine a £t6 clioisie de telle fagon que a4 = b± = g\ = o. Nous poserons M 20)3 R^X2 1N-R "3 et nous 6crirons V — N [(2/1 -h I ) — 3] ~~ j 271-H I o ( 271 -h I )3 B " Soit alors P0 le potentiel d'une couche r^pandue sur la sphere et ayant pour l6o MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. density gj — g\\ soient P4 le potentiel d'uno couche de densite P0, P2 celui d'une couche de density Pd? etc. Soil, a la surface de la sphere, il viendra el (2/1 R d'ou I £r' R X P v P n -T -* P, i)2 (4*)2K __ P2 (2/1 -hi)' (4«)»R«J 2ff^RXff __ (2/1 -hi)' d'od v-«- Cette formule nous permet de d^duire des mesures de pendule la valeur de V et, par consequent, le rel&vement du g($oi"de. En ggn&ral, la s^rie (9) converge avec la m&me rapidit^ qu'une progression Q g6om6trique dont la raison serait-. La convergence serait done assez lente, mais on peut Faugmenter en calculant a part les premieres harmoniques. Soil, en effet, Soient ensuite P'^ le potentiel du a une couche de density g", P\ celui qui est du a une couche de densit^ P^, etc. ; il viendra I — I OU MESURES DE GRAVITY ET LA G^ODESIE. l6l La s^rie S converge alors comme une progression dont la raisonserait — —?• L'emploi de la s^rie (9) sera surtout avantageux quand on voudra 6 valuer I'influence d'une perturbation locale de la gravity. Supposons en effet que, dans une region R0 assez limiuSe, la gravity subissc des variations considerables et irr£guli£res; nous pourrons alors poser ou g*1 sera une fonction dont les variations seront petites et lentes dans la region R0, tandis que la fonclion g"! sera nulle ou tr6s petite en dehors de R0, et prendra au contraire des valeurs considerables et a variations imSguli&res dans la region R0. D'ailleurs, gnl doit Stre choisi detelle facon que son develop- pement harmonique commence par des fonctions sph^riques du second ordre. Nous repr^senterons par P'J. et PJ des potentiels qui seront formes avec g" et gfff, comme les P/. 1'etaient avec gf — g'^ et nous poserons et v-TN^HK^)1— ]• d'ou V*-hV«V — N. Alors V;/ repr^sentera ce que serait V — N si la perturbation locale de la gravity n'existait pas, tandis que V"7 reprtSsentera Tinfluence de cette pertur- bation locale. Voyons quel est le rel&vement de g^oi'de du a cette perturbation locale. On a sur la sphere de reference de rajon R Avec le degr£ d'approximation adopts, nous pouvons n^gliger les termes en C2? C35 • • • ? et remplacer -y- par £•'„; nous aurons done W = W0 H- #'«>£. D'autre part, W = V -h U = -f- V -h V" + U + N, d'oii ^Ot = — W0 -h V'-h U -+- V" -h N. H. P. — VHI. a i 162 MESURES DE GRAVITY ET LA GEODESIE. Nous pouvons alors s^parer la partie du rel&vement du g^oide qui est ind£- pendante de la perturbation locale, et celle qui est due a 1'influence de cette perturbation en posant /Qy = — w0 -4- V-H u H- N, £U'" = v'". Alors repr^sente la partie du rel^vement du g^oi'de qui est due a 1'influence de la perturbation locale. La s^rie (9 bis} converge en general avec une assez grande rapidity; mais nous remplacerons au paragraphe suivant cetle s&rie par une integrate definie dont la discussion est plus facile. Je voudrais seulement faire deux remarques : i° Les coefficients g\ (qui sont au nombre de trois puisqu'il y a trois fonc- tions sph^riques du premier ordre) doivent 6tre mils. C'est la une condition £ laquelle les observations du pendule doivent satisfaire; 2° M. Faye a remarqu^ que, si Ton fait subir aux observations du pendule la correction de Faye, en s'abstenant de faire la correction de Bouguer, ces obser- vations se r^duisent sensiblement £ lavaleur th^orique. Gette proposition n'est, bien entendu, que grossi&rement approch(5e. Voyons n&mmoins quelle cons<5- quence on pourrait en tirer au sujet de la forme du g^o'ide, si elle <5tait rigou- reusement exacte. La valeur th^orique, c'est celle qui r^sulte de la formulc de Clairaut, suppo- sant la Terre form^e de couches concentriques en <5quilibre. Comme le rel&vement du g6oi"de f ne depend que de la valeur de g\ si g] a la m6me valeur que dans Phypoth&se de Clairaut, ce g^o'ide aura aussi la m&me forme que dans cette hypoth&se, c'est-a-dire que ce sera rigoureusement un ellipsoi'de de revolution. Je le r£p&te, cette consequence n'est que grossi&rement approch^e, si la pro- position d'ou on Ta deduite n'est elle-m£me que grossi^rement approch^e. IV. Pour aller plus loin, nous allons chercher ^ donner a la formule (9) une autre forme. MESURES DE GRAVITY ET LA GEOD&SIE. 1 63 Nous prendrons R pour unit£ de longueur, afin de simplifier les calculs alg^briques, quitte a r^tablir a la fin rhomog<3n<3it(3. Nous avons alors, pour r = R, V N — T/y Y V— IN — Zan&n \ — I P0 = 4^ 2/1 4- I Tous ces dtSveloppements commencent par des termes du second ordre (n = 2). Remarquons maintenant que Ton a ' = » , 3 n — I 2/1 -H I (2rtH-l)(/Z — I) Soil alors )(n— I)' de sorte que on aura *(r)5=2e(r)-h3/(r). Or 4^® (r) n'est autre chose que le potentiel d'une couche sph&rique ayant pour densit^ gl — £•'„, par rapport a un point int<3rieur a la sphfrre dont les coordonn^es seront x = r sin 8 cos cp, y — r sin 8 sin 9, z = r cos Q» Nous aurons done ou ljint«$gration est ^tendue a tous les dl&oients dd de la sphere, ou D; d^signe la valeur de la fonction g1 — g'Q au centre de gravit^ de I'(5l6ment dd, et ou p d^signe la distance de cet £l£ment au point attir6 x,y,z. Soit 4* Tangle sous lequel cette distance est vue de 1'origine ; on aura p = \i — 2r cos Remarquons maintenant que, le d^veloppement harmonique de gl — !64 MESURES DE GRAVITY ET LA G^OD^SIE. commencant par des fonctions sph^riques du second ordre, on a, quel que soil le point x, y,£, Cv'da' — Cl)' Nous pouvons done (Scri avec V/i — zrcosy H- r2 Nous avons, d'auLrepart, d'ou I'mt^gratipn devant s'^tendre d'une part a tous les ^ments dd de la sphere, d'autre part a toutes les valeurs de r depuis o jusqu'a r. Je puis done 6cire avec Nous devons done calculer 1'intdgrale H(r, ^)- Pour cela nous poserons d'ou et 1- ou, ea d^composant en ^l^ments simples, . dr cosd» cosd' »^- _ = — T i T i T i I^^ L'int^grale ind^finie est done — * 4- cos ^ log( i — MESURES DE GRAVITE* ET LA GEODESIE. l65 Pour avoir H ( i , 40> il faut inlegrer depuis 7* = o, c'est-a-dire t = — cos 4s ce qui donne cosd^ r -+- 2 log sin&) jusqu'a r = i ; d'ou tLi d< 6 / d>\ p = 2sm-^-5 2 = 2sin- — I3 i — «2 = 4sin — (i — sin -£ J 5 2 2 2 \ 2 / ce qui donne 6 / 4> 6 \ i — 2 sin --h cosiMog ( 4 sin- — 4 sin2- ) 9 2 \ 2 2 / d'ofr H(i, 6) = 2 sin2 — — 2 sin — H- eos'4>Iog- sin2 — cos2 — 2 2 ou enfin H(i, «{/) = 2 sin3— — 2 sin — — cos& log f sin — -+- sin2 — J • Si nous remarquons que, pour r = i, on a p = 2 sin — 5 cela peut s'^crire On a ainsi V — N = *(i) = 26(1) H-3/(O- d'ou Or F( I, *) « - —r — 2COS2 = — 2 -f- . V T . ^ 2 p 2 2sm — r 2 Si done nous posons il vient 1 66 MESURES DE GRAVITY ET LA GEODESIE. et nous pouvons <3crire finalement cm, en rtHablissant Fhomog£n6ite, En d'autres ternies, la partie compleSmenlaire du potcntiel d'ou depend le rel&vement du g<3oide nous sera donn£e par le potentiel d'une couche attiranle dont la density est g* — g'Q ; la loi d'allraction en fonclion de la distance p <Hant repr£sent£e par la fonction Nous avons obtenu les formules pr<5c£dentes en supposant que D' est la valeur de g1 — g'0 sur 1'glgment dd. II en r^sultait que le d^veloppement de D' com- menQait par des fonctions sph^riques du second ordre. Qu'arriverait-il si, dans I'mteSgrale on remplacait Df par une fonction* dont le d^veloppement contiendrait des fonctions sph&iques d'ordre o ou i ? Soient D'0 et D'4 deux fonctions analogues a D', mais se rgduisant, la premiere a une fonction sph^rique d'ordre o, c'est-a-dire a une constante, la seconde a une fonction sph^rique d'ordre i , c'est-a-dire a une fonction lin^aire des coor- donn^es rectangulaires de l'6l^ment rfw'. Je dis que T = o. En effet, le d^veloppement de oil Yn repr^sente une fonction sph^rique d'ordre n dependant de ^, commence par des termes du second ordre (71 = 2). II en est de m&me du d^veloppe- ment de MESURES DE GRAVITE ET LA G^ODgsiE. 167 11 \ient eusuite II suffil done de demontrer que iYarfw' = o (n ^ a). Or cela est Evident, si D'0 et D't sont des fonctions d'ordre o et i etYnune fonclion sph^rique d'ordre superieur. Supposons maintenant que Ton Studio Peffet d'une perturbation locale de la gravit6 limit^e a une region R0. Nous poserons commeau paragraphe pr£c6dent de telle fagon que £ varie r<5guli£rement et lentement dans la region R0 et que gjn ne prenne de valeurs sensibles qu'a Pint^rieur de cette region. Seule- ment, comme nous ne serons plus forces de supposer que le d^veloppement de g!t/ commence par des fonctions sph&riques du second ordre, nous pourrons admettre que, en dehors de la region R0, g*n est non seulement tr^s petit, mais nul. Soient D'2 et D;3 les valeurs de g1' et de g3" au centre de gravit6 de ment dd\ nous poserons : djou La formule (i bis) est l^quivalent de la formule (9 bis) du paragraphe rgc^dent. Nous aurons de m6me (iter) ou £" repr^sente ce que serait le rel&vement du g^oide sans la perturbation locale, et £w le surcroit de rel&vement du a la perturbation. C'est la formule ( i ter) qu'il convient d'6tudier de plus pr^s. Supposons que la region R0 soit contenue dans un petit cercle de rayon X. L68 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. L'inUSgrale du second membre de ( i ter) reprosentera le potential d'une couche attirantc r£pandue sur la region R0 el agissant suivant la loi G(~ V Mais, en general, rattraciion de cetle couche ne sera sensible que dans le voisinage de la region R0 et principalement dans cetle region elle-m6me. Nous n'avons done a nous preocuper que des valeurs tr6s petites de p; mais si p est tr£s petit, le terme preponderant est le tei^me en-» qui est tr&s grand, tandis que le terme en logp, quoique tr&s grand, est beaucoup plus petit que le premier et tandis que les autres termes sont finis. Pr^cisons davantage. Soit K la plus grande valeur dc g"1 et distinguons les trois parties de V" qui sont dues respectivement : i° Au terme en-; 2° Au terme en log p ; 3° Aux autres termes de G ( g j • Ges trois parties seront respectivement du m£me ordre de grandeur que KX KX\ X KXs TTJ "R5-logRf ~W* Comme le rayon X du cercle qui enveloppe la region R0 a £ti$ suppose tr^s petit, les deux derni&res parties seront, en gt§n£ral, tout a fait n^gligeables, de sorte que Ton aura simplement <•*•-!*£• ou, en reprenant les notations du paragraphe pr^c^dent, c'est-a-dire que la s^rie (9 bis) du paragraphe pr<2c<3dent pourra 6tre r6duite a son premier terme. Remarquons que la formule (i ter), <5tant homogfene, peut toe employee avec n'importe quelles unites. En effet, D73 et^0 repr^sentant des quantitt5s de ry nature, -~ €st un nombre abstrait ; il en est de m£me de G, de sorte que 1'intggrale MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 169 est le carr£ (Tune longueur et que est une longueur. V. Cherchons maintenant a faire le calcul en negligeant non plus le carre* de Faplatissement, mais le carre* du relevement du ge"o"ide au-dessus deFellipso'ide, qui est une quantity beaucoup plus petite. Nous n'aurons pour cela qu'a faire jouer aux fonctions de Lam6 le role des fonctions sphe'riques. Nous adopterons un ellipsoi'de de re'fe'rence qui jouerale role de notre sphere de re'fe'rence de rayon R; et nous nous servirons de cet ellipsoi'de pour dgfinir, a la maniere ordinaire, un systeme de coordonne'es elliptiques p, JLJL, v. (Si Fellipsoi'de est de revolution, 1'une des variables y devient illusoire, il convient de la remplacer par la longitude ge"ographique.) On sait que 1'on considere un systeme de fonctions de Lam6 que j'appellerai Ri, S/, Mi, N/. R/ et Si sont fonctions de p, M/ de p., N/ de v. R,- est un polynome en p et ^/p2 — a?, \/p- — b*, \/p2 — ca(si Ton d^signe par a, &, c les trois axes de 1'ellipsoide); M/ est forme' avec /JL et N/ avec v comme Rf avec p. On sait e'galement que, quand 1'ellipsoide est de revolution, N,- n'est autre chose que le cosinus ou le sinus d'un multiple de la longitude g6ographique. Enfin, tottte fonction qui satisfait a liquation de Laplace a Fextdrieur de I'ellipsoide peut se d^velopper en s^rie proc<5dant suivant les produits S|-M,N,-. De ni^me toute fonction qui satisfait a I7 Equation de Laplace a 1'intdrieur de Fellipsoi'de peut se de"velopper en serie proc<5dant suivant les produits R,-,M,-,Nz . Je supposefai que 1'ellipsoide de reference a pour Equation p = o. Je de*signerai par RJ et S^ les valeurs de R/ et S/ pour p = o; par Kt et S'f les d^riv<5es de Rz- et S,- par rapport a p; par R7? et S'f les valeurs de R'z- et S'£ pour p = o. Je distinguerai : i° La fonction d'ordre o que je de*signerai par Findice o, R0, . . . , elle se r^duit a une constante ; 2° Les trois fonctions d'ordre i que je de"signerai par les indices i, 2, 3; 3° Celles des cinq fonctions du second ordre qui sont des polynomes en p ; H. P. — VIII. 22 170 MESURES DE GRAVITE ET LA Gl£oDE51E. elles soul au nombre de deux, et je les d6signerai par R/f et R3. On a alors a 1'exttSrieur de la plan&te A la surface de 1'ellipsoide de reference on aura U = Tous les coefficients X/sont nuls, a Perception deX0? X4J A5; ce dernier coeffi- cient est mil lui-m£me si 1'ellipsoide est de revolution. Je d^signerai par £ le rel^vement du gtSoide et par rj celui de la surface terrestre au-dessus de Tellipsoi'de de nSftrence, et nous aurons Nous aurons encore (en n^gligeant le carr£ de ctV dU _ = -_-_, an a$ dn an d • ' en d^signant par -7- les d<5riv6es estim^es suivant la normale. w A ctn Quelle sera la valeur de U en dehors de 1'ellipso'ide de reference? Nous savons que U est proportionnel £ a?2 -I- y2 ; nous pourrons done <3crire ou s*annule sur 1'ellipsoide de reference el ou k est un coefficient constant conve- nablement choisi. Examinons d'abord un cas simple, celui ou la surface du g(5o'ide se confond avec la surface terrestre et avec Fellipsoi'de de reference (yj = £ = o). Je d(5si- gnerai par W0, V05 g'0 les valeurs de W, V et^ qui correspondent a ce cas simple. Nous aurons, sur Fellipsoi'de de reference, V« -4- U = C. C (5tant une constante ; d'ou "^t R? •+- at S? =s o (sauf pour i = o), ce qui montre que tous les at sont nuls, sauf a0, a* et a5. Nous d&signerons par W00, ^00? V00 les valeurs de W0, g^ V0 pour p = o, de sorte que W00 = C. MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. 171 Venons mainlenant au cas general. Nous pouvons avoir avantage a introduire une notation nouvelle en posanl de telle facon que £', par exemple, represente Faccroissement de p quand on s'<5l£ve verticalement depuis la surface de 1'ellipsoide jusqu'a celle dugeoide. Nous pouvons poser ai-je dit, _ dWd? *~ do dn En effet, on a N t^tant la composante de la gravid normale aux ellipsoi'des homofocaux a 1'ellipsoide de reference et T la composante tangentielle. Cette derni^re ^tant de Fordre de 5, on peut prendre d? ~ en n^gligeant ?2. Nous venons de d^finir V0, W0 et g*0; nous poserons, dans le cas general, d'ou On voit que SV et 8g sont de Pordre de f . En un point de la surface terrestre, on a (en n^gligeant 52), dn et en un point du g^o'ide dW0 , dn On aura done, en un point de la surface terrestre, W = G + ~± ^+ BY = G- |f *M 172 MESURES DE GRAVITE ET LA et en un point du geo'ide d? ^^-Si-dF'"1"0^ Bien entendu, on pourra, avec 1'approximation adoptee, r<Sduire 8V et Sg a leurs valeurs au point correspondant de 1'ellipsoide. Comme a la surface de 1'ellipsoi'de W doit se rtfduire a la constante G, on aura ou Supposons maintenant que 1'on fasse subir £ g la correction de Faye. Nous aurons encore et la correction de Faye sera ici \ dn J d$fi dn dpz Apr&s la correction, g devient Remarquons maintenant que de sorte que nous arrivons finalement a liquation suivante : '--« Telle est liquation d'ou il faut tirer 5V. Voyons en passant ce que devient cette Equation dans le cas simple trait<§ aux paragraphes pr^c^dents, c'est-a-dire quand 1'ellipsoi'de de reference se r<3duit a une sphere. C'est alors le rayon vecteur r qui joue le rdle de p ; on a W — M — M flftWo _ 2l|l t dp r O "" r% ^-2 ^3 } MESURES DE GRAVITY ET LA GgOD^SIE. I?3 Nous supposerons R = i et 1'on aura alors a la surface de la sphere de reference Woo = M, <f oo = M ; Liquation (i) devient Si on a pour r = i ,x, 0==— 20V -- — -_ Liquation (i) devient alors On retrouve done bien les r<3sultats obtenus dans les paragraphes pr(5c^denls. Revenons a liquation (i) et vojons quel parli on peut en tirer. Envisageons le coefficient ^P i d*WQm dn ^oo «fc2 ' il se r^duit a une constante aux quantit^s pres de 1'ordre de 1'aplatissemenL; je 1'^galerai done a C + aF, C ^tant une consiante, F une fonction de p. et de v et cc un coefficient de 1'ordre de 1'aplatissement. Notre Equation devient ainsi Pour, determiner <5V, et par consequent f' et ^, je me propose de de*velopper 3V suivant les puissances de a, sous la forme 8V = PO -i- a PI ~f- a2 PS H- ---- Nous aurons alors la s^rie d7e*quations (.a) ^_^.._ 174 MESURES DE GRAVITE ET LA GEODESIE. Alors les ^ peuvent se developper de la facon suivante, a 1'exterieur de Fellipsoide de reference : Alors pour integrer (a a) nous developperons g1 — ^00 sous la forme suivante : developpement qui est toujours possible d'apres un theoreme bien connu, et liquation (2 a) nous donnera ce qui determine les coefficients «,-0 et, par consequent, VQ. Quand PO est connu, on connait le premier membre de (26); on de*velop- pera ce premier membre de la m6me fagon que le premier mcmbrc de (2 a) cl Ton se servira de (zb) pour determiner PI comme on s'est servi de (2 a) pour determiner ^0 ; et ainsi de suite. Gela suffit pour montrer comment on doit corriger les requitals des para- graphes precedents afin de tenir compte des puissances superieures de 1'apla- tissement. Cela montre en m6me temps que le plus important de ces resultats subsiste; je veux dire que la connaissance de la graviie en tons les lieux du globe suffit pour determiner la forme du geo'ide. SUR LES DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE Bulletin astronomique^ t. 18, p. 267-276 (juillet 1901). I. Les geodesiens ont coutume de deduire les deviations de la verticale soit vers 1'Est, soit vers le Nord, de la difference observe entre les deux latitudes geodesique et astronomique, on bien encore entre les deux azimuts geodesique et astronomique, ou bien encore entre les deux longitudes. On tient seulement compte de la difference des deux azimuts, par exemple, aux deux stations extremes, sans se preoccuper de la loi suivant laquelle cette difference a varie dans les stations intermediates. Cette facon d'operer, generalement l6gitime, ne tient pas compte.de toutes les circonstances du probl£me et pent entrainer certaines causes d'erreur. Ces causes d'erreur sont a la verite fort m mimes, ainsi que Font montre divers auteurs et, en particulier, Yvon Villarceau (C. R. Acad. Sc.: t. 62, 1866, p. 740' ma*s Dependant mon attention a et£ attir^e sur elles parce qu'elles peuvent devenir sensibles dans les regions equatoriales. Peut-6tre une courte digression ne sera-t-elle pas inutile ? Que doit-on entendre par meridien ? Est-ce le lieu des points du geoi'de ou le plan tangent estparall&Ie ^ une direction donnee du plan equatorial, ou, end'autres termes,- est-ce le lieu des points de longitude donnee ? Ou bien est-ce une courbe trac^e sur le geoide et qui en chaque lieu est tangente au plan meridien de ce lieu, 176 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. ou, en d'autres lermes, esl-ce une courbe ou razimul de la Langente csL cons- tamment nul ? Pour un ellipso'ide, ou en general pour une surface de revolution, les deux definitions concordent et, de plus, les m<§ridiens ainsi definis sont des ligncs geodesiques. Mais pour un geoi'de quelconque les lignes de longitude constante different des lignes d'azimut nul, et ni les lines ni les autres ne sont des lignes geodesiques. De m6me, il faudra distinguer les lignes de latitude constante des ligncs ou 1'azimut de la tangente est constamment egal a 90°. Soient M un point quelconque du geoide, MA, MB, MC, MD les tangentes : i° a la ligne de longitude constante ; 2° a la ligne d'azimut nul; 3° a la lignc de latitude constante; 4° ^ ^a ligne dont 1'azimut est 90°. MB sera perpendiculaire a MD par definition. Mais MA et MD d'une part, MB et MC d'autre part devront 6tre des diam&lres conjugu^s de 1'indica trice du geoide. II en r<5sulte que MA ne peut se confondre avec MB (ou MC avcc MD) que si MB et MD sont les axes de 1'indicatrice. Cette circonstance ne peut se presenter pour tous les points du geoi'de que dans le cas des surfaces de revolution. Si une des lignes de latitude constante se confond avec une ligne dont Pazimut est 90°, la tangente en chaque point devra toe un des axes de 1'indi- catrice; ce sera done une ligne de courbure, satisfaisant & 1'equation g<5n£ralc des lignes de courbure ^ — ty _ — *^L Tl ~H^.~ d7i9 ou #, y, z sont les coordonnees et l: m, n les cosinus directeurs de la normale a la surface. Or n c'est le sinus de la latitude; si done la latitude est cons- tante, dz sera nulle et la courbe sera plane. De mtoe, si une des lignes de longitude constante se confond avec une ligne d'azimut nul, on verra de mSme que c'est une ligne de courbure et que c'est une courbe plane. De plus, ce sera une ligne geodesique. Cela pose, supposons que 1'on trace un arc de ineridienne AB sur la surface du geoi'de , par des moyens geodesiques. Qu'est-ce que cela veut dire? Cela signifie : i° que cet arc AB sera une ligne geodesique; 2° que 1'azimut au point initial sera nul. En general, cet arc AB ne sera ni une ligne de longitude constante, ni une ligne d'aziinut nul, et cela quand m6me la deviation de la verticale serait nulle DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. 177 aux deux points extremes A et B, du moment qu'elle ne serait pas nulle tout le long de Tare. Supposons done la deviation nulle en A et 'en B, et differente de zero entre A et B. Comme AB n'est pas une ligne de longitude constante, la longitude de B ne sera pas egale a celle de A; comme ce n'est pas non plus une ligne d'azimut nul, Fazimut en B ne sera pas nul. On constatera done une difference entre les longitudes geodesique et astronomique, de mdme qu'entre les azimuts g^odtSsique et astronomique, et, si Ton applique les formules usuelles, on en d^duira 1' existence d'une deviation de la verticaleau point B,laquelle deviation n'existe pas d'apr&s notre hypothfcse. En resume, la difference entre les longitudes geodesique et astronomique on entre les azimuts geodesique et astronomique ne depend pas seulement de la deviation au point consid^re, mais de la deviation dans ton Les les stations de la chaine. C'est Finfluence de cette cause d'erreur que je voudrais (Hudier par une analyse un pen plus appro fondie. II. Soient I et A la longitude et la latitude d'un point d'une sphere, x = cos / cos A, y = sra / cos A, js = sin A, les coordonn^es rectangulaires de ce m£me point. Soient liquation d'une courbe tract5e sur la sphere, 9 1'azimut de cette courbe. Soient M et M' deux points infmirnent voisins de cette courbe, MM'P un triangle rectangle infiniment petit dont Fhypotenuse est MM' et dont les cot6s sont un arc de rn^ridien et un arc de parall&le, de telle sorte que MM7 = <&, MP = cD. , M' P = cos X dl. On aura dans ce triangle M'P rfJcoaX r \ (i) w- — -—;—*^* en dgsignant par lf et I" les derives premiere et seconde de I par rapport a X. Soil maintenant ^ Fangle de la normale a la sphere avec le plan osculateur. H. P, — vin. 23 178 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN Les cosinus directeurs de la normale a la sphere sont x, y, z. On aura ceux du plan osculateur de la facon suivante : Soil A = /*'— *y, B = a'a?'— a?V, G = x'y" — a, (3, y sont Ics cosinus directeurs cherch^s de telle sorlc que sin 6 = OLX H- pj/1 H- 73, d'o* 5 y co" y" z» A D' ConsidtSrons un mobile parcourant notre courbe de fagon quc la latitude varic proportionnellement au temps. Les composantes de la yitesse seront of r, y': z1, ot celles de I'acct5l(5ration x", y", zw\ de sorte que D sera le parall^logramme construit sur la vitesse et l'acc(5l^ration. Pour avoir 1'aire de ce parall^lo- gramme, il faut multiplier la vitesse par la composante normale de Fa ration. Gette composante, d'apr&s un th<5ortoie bien connu, cst 6gale a — j 9 (Slant la vitesse et p le rayon de courbure. On aura done Or d'ou et enfin __ ds _ ~" "" cos® p = D: s^ cos3 9 A cos3 9. II reste a calculer A; on observera que A semble ddpendre de A, de I, de V et /*; mais par raison de sym^trie, il ne d^pendra que de A, F et F, et pas de L Nous pourrons done, apr&s avoir calculi par differentiation x^ yf, zr, x' ', y, zu> faire I = o ; nous trouvons ainsi A = cosX — sin X — cosX(n-//2) ou en d^veloppant et r^duisant A =5— rcosX-t-2/' sinX cosX — 2 1* sin X — sin X ^'3cos2X sinX, DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN G^ODESIE. 179 d'ou (2) tg& =— Z'cos'o cosX H- I' sinX(2 cos3o H- sin2? cos 9). Si la courbe diflfere peu d'un grand cercle, tg'b peut £tre remplac^ par <k Si la courbe s'£carte peu d'un mgridien de lelle facon que Z', I" et 9 soient ires petits, la formule se simplifie et nous pouvons <*crire tout simplemenl ( 3 ) 6 = — I" cos X -4- 2 1' sin X. III. Faisons le m£me calcul pour un ellipsoi'de peu aplati. Dgsignons toujours par I et ?. la longitude et la latitude. Soient x = C cos I, y = G sin Z, z = S les coordonn<5es rectangulaires d'un point quelconque. C et S sont des fonctions de A, peu diffih'entes de cos A et sin A. Nous d^signerons par C', C'7, ... les di;rivees successives de G par rapport a A; de m£me pour celles de S, Z, .... Si nous reprenons noire petit triangle MM'P, nous aurons MM' = ds, MP = R fZX, M' P = G dl, R elant le rayon de courbure de la section mthidienne, d'ou t*3 = — = Cdl = ^Z'cos> RI 6tant le second rayon de courbure principal de Fellipsoide. Le rapport des rayons de courbure -^ diflfere peu de Punit£. Nous d^finissons A, B, G et D comme plus haut et de sorte que •-£• J-S- ^=§ sont les cosinus directeurs du plan osculateur. D'un autre cot6, les cosinus directeurs de la normale a Fellipsoi'de sont cos Z cos X, sin Z cos X, sin X, de sorte que 1'on a sin fy = a cos Z cos X •+- p sin Z cos X -t- y sin X. En posant cos Z cos X sin Z cos X sin X x' y' z' of f f !8o DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. on trouve done encore ds R On aura encore p0 tHant le rayon de courbure de la section normale langenle a la courbe envisag^e, d'ou D = Pour le calcul de A nous allons, comme plus haul, fairc / = o. Nous avons d'aillcurs S'=RcosX, G' = — R sinX, d'ou S'» H- G'2 = R*, S' S" 4- G' G/; = R R'. II vient ainsi S' o - G' AR = C' ' I' G S' Gf— Z'*C ou en developpanl ou AR ou (a cause de Rtgcp = ou enfin (5) Si nous supposons que la courbe diff^re tr^s pen d'un m<5ridien, de lelle fagon que ^ et 9 soient tr^s petits el p0 tr6s pen different de R, nous aurons tout siraplement (6) t-rf-l-g-afg. En r£sum<3, les formules (4), (5) et (6) sont tout & fait de m&me forme que les formules correspondantes (i), (2) et (3). Les coefficients de I' el de £r sont, il est vrai, des fonctions de X et de <p plus compliqu^es que dans le cas de la DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GliODESIE. l8l sphere. Mais ces fonctions ont, dans lo cas dc rellipsoi'dc et dans le cas dc la sphere, des valeurs tres pen differentes, si raplalissement est faible, de sorte que dans la plupart des applications qui vont suivre on obtiendra une approxi- mation suffisante en se contentant des formules relatives a la sphere. IV. Passons maintenant au cas d:un ggoide quelconque; je supposerai toutefois que ce g^oi'de differe extr^mement peu d'un ellipsoi'de de revolution que je prendrai pour ellipso'ide de reference et que cet ellipso'ide est lui-m&me peu aplati. Soient M un point quelconque du g6o'ide, N sa projection sur Fellip- soi'de de telle facon que MN soit normale a 1'ellipsoide. Soit MP la verticale vraie au point M. Je deTmirai le point M par la longitude / et par la latitude X du point N sur 1'ellipsoide et par la longueur MN = £. J'appellerai ensuite !• et 73, les deux composantes de la deviation de la verti- cale vers le Nord et vers 1'Est, de telle fagon que Tangle tres petit de MN avec MP soit^+vj2. Comment vont se transformer nos formules ? Les angles <p et ^ vont, a ce qu'il semble, dgpendre non seulement, comme dans le cas prudent, de A, de I' et de Z", mais de £, de £', de £", de £ et de YJ. A vrai dire, si Ton supposait que le point M est sur le g^oi'de, c'est-a-dire que la courbe lieu des points M est 1'horizontale et, par consequent, normale & MP, il y aurait une relation entre £', £ et rj, exprimant que la tangente au lieu des points M est perpendiculaire a MP. Ces trois variables ne seraient done pas ind^pendantes. Mais on peut ne pas faire cette hypolh&se, au moins au debut du calcul. Nos variables £, £', Zfj £, 73 etant tres petites, nous pouvons ecrire o>0 et 4*0 etant les valeurs de cp et fy pour 5 = g/=^r=£ = yj = o, c'est-a-dire les valeurs donne"es par les formules (4) et (5). II est clair, en effet, que cp ne peut dependre ni de £;/3 ni de £. Je dis maintenant que si YJ — O, on peut prendre tout simplement <p = 90. Nous pouvons, en effet, toujours supposer £= o, de sorte que MP se c&nfonde 182 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. avcc MN. Soienl MT el NT' les taiigentes au lieu des points M el au lieu dcs points N. L'angle cp — cp0 n'est autre chose que Tangle dcs deux plans MNT' et NMT. Si M' est un point voisin de M sur la courbe lieu des poinls MctsiN' est le point correspoiidant sur le lieu des points N, M'N7 est comme MN nor- male a Tellipsoide. Les droites MN, M'N', . . . engendrent une surface r£glee. Les plans MINT et MNT' sont les plans tangents a la surface r£gl<3e aux points M eiN. Ces plans tangents se confondent si la surface nSglee est developpable ; c'est ce qui arrive d'abord si, 1'aplatissement etant nul, rellipsoi'de se reduit a une sphere, parce qu'alors la surface r£gl<5e se r(§duit a un cone. C'est ce qui arrive encore si le lieu des points M est tangent a une ligne de courbure, c'est-a-dire si Tazimut est voisin de o on de 90°. Comme Taplalissement est tr£s petit, comme £ est loujours irfcs faiblc, nous pourrons prendre sans erreur sensible do - Le calcul du terme -r Y\ se d^duit imm<3diatemeni des formules de Tastro- d-r\ nomie sphtirique, la correction a apporter a. 1'azimut est YJ tgA, de sorte que Ton a (7) 7 =arctg(Z'cos/0-F-''itgX. Pour le calcul de ^, nous pouvons raisonnor a pen pr6s dc la m£mc manure. Je remarque d'abord que, si Paplalisscment est nul, si 5=73=10, ct si le lieu des points N est un grand cercle de la sphere, on a di = d/o= o. En effet, la verticale MP se confond avec MN, c'est-a-dire avcc un rayon do la sphere; le lieu des points M est, comme celui des points N, une courbe plane dont le plan passe par MN. Done Tangle ty est nul. Ainsi les d£riv<3es dfy dfy afy ^f' 3?' HO* s'annulent quand Taplatissement est nul ainsi que ^0. On aura encore si, Taplatissement n'6tant pas nul, le lieu dcs points N se reduit a un ni(5ridion DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODES1E. l83 de Tellipsoi'de, pourvu d'ailleurs que '^ = -^ = 0. Dans co cas encore, le lieu des points M comme celui des points N est une courbe plane dont le plan passe par MN. Si Ton observe que les lignes que nous aurons a envisager s'ecartent pen des lignes ge'ode'siques et que, d'autrc part, Taplatissement est tres faible, nous voyons que nous pourrons sans erreur sensible supposer et ecrire Pour evaluer le terme comple"mentaire j'observerai que Tangle dont il faut corriger ty pour tenir compte de la d^via- tion de la verticale n'est autre chose que Tangle des deux plans MTN et MTP, c'est-a-dire — TJ cos 9 -+• 5 sins. Si Ton suppose que le lieu des points M differe tr^s peu d'une ligne gt5od(5- sique, nous pourrons confondre Tangle d> avec sa tangente, de sorte que la formule (2) (a laquelle nous nous bornerons en negligeanl Taplalissement) s'<§crira d;0 = — I" cos3 9 cos X -h I' sin \ ( 2 cos3 9 -h sin2 9 cos 9 ), d'ou (8) & =— //7cos39 cos^ •+• V sin X(2 cos39 •+• sin29 0059) — 1\ 0039 -h ? sino. Dans le cas ou la courbe consid^r^e diifere peu d'unme'ridien, cette formule se re*duit a (9) 6 =— I'cosX -j-2^ sinX — f\. Si nous supposons maintenant que la courbe differe tr&s peu d'un grand cercle, de telle sorte que liquation du grand cercle soil celle de la courbe ,84 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. I'uziiiiuL du grand ccrcle <p, colui dc la courbc cp + 3<p, il vicndra 09 = cos A cos2 9 W el, on laissant de cole les lermos en £ el en YJ, S'J> = — o/" cos:j o cos A H- 8£' sin X ( 2 cos3 9 4- sin2 9 cos 9 ) 4- o9[3/"cosX cos2o sin 9 — J' sin A (sin 9 •+- 3 cos2o sin 9)]. Mais la courbe / = F(A) 6lunl im grand cercle pour lequcl i|> csL nul, nous pouvons ecrire d'ou 3 r cos X cos2 9 sin 9 — /' sin X sin 9(1-1- 3 cos2 9 ) = 2 /' sin X sin 9. Or 2 /' sin A sin 9 So = 2 S/' sin X sin2 9 cos 9, d'oii enfin 8^ = — 8Z*cos39 cosX H- S/' sin A 0039(2 •+• sin2 9). Si nous observons que pour la courbe Z = F(A), qui esL un grand cercle, ^ = o, nous pourrons 6crire finalemenL (10) d» = — 8rcos39 cosX H- 51' sin A cos 9 (2 -h sin2 9) — ^coso -f- $sin9. I* Rappelons d'aulre part que la longitude el la latitude aslronomiques du point M sont / H- JL et X H- g. cosX V. Appliquons mainlenanL ces nSsullats au probl^me qui nous occupc. SoiL AB un arc de m&ridien tract5 par des moyens geod(5siques; ce dovra d'abord 6tre une ligne g^od^sique, de sorte qu'on aura par la formule (9), (i 1} /" cos X — 2 1' sin X H~ f\ = o. D'aulre part, au point A Fazimut doit 6tre nul, de sorte qu'on aura par la formule (7) et 9 <5tant tr^s petit (12) IQ COsXo-hVlo lgA0= 0. Je d(5signe par des indices o les valeurs relatives au point A et par des indices i les valeurs relatives au point B. Au point B, on aura de m&me pour la difference mesurable des azimuts g6od<5sique et astronomique DEVIATIONS DE L.\ VERTICALE EN GEODfeSIE. 1 85 Nous prendrons pour origine des longitudes astronomiques le point A, de sorte qu'on aura (14) A)H ^— = o ' cosX0 et pour la longitude mesurable du point B (difference des longitudes geode- sique et astronomique) C'est de Fensemble des equations (11) a (i5) qu'il faut tirer des conclusions en ce qui concerne YJ, landis qu'ordinairement on se sert des Equations (16) ?L = (-HI comme si I <3tait toujours nul. Les fo ramies peuvent se me tire sous une forme plus simple. Posons H = L cosX. H est mesurable, puisque L n'est autre chose que la longitude astronomique. On trouve alors H = / cos X •+- "n, d'ou H'= J'cosX — JsinXH-7)', H"= I" cos X — 2 V sin X — I cos X -I- •*}". Or 9 = I'cosX •+• f\ tgX, d'ou (18) H'=9 — HtgX-4-V- D'ailleurs liquation (i i) devient (19) HffH-H = <- La combinaisan des ^qualions (i 8) el (19) nous donne liquation de condilion suivante a laquelle doivenl salisfaire les quantities mesurables H et 9 : (20) 9'=H'tgXH-Htg2X. Je remarque d'abord, a litre de verification, que les Equations (18) et(ig) nous conduisent de nouveau a un th(5or&me que nous avons d6montr<§ plus haul directement. Si une ligne est a la fois ligne de longitude constants et H. p. - vm. 24 l86 DEVIATIONS DE LA VERTICALS EN GEODESIE. lignc d'azimut mil, dc telle facoii que Ton ait H~cp~o, cc sera une ligne geodesique. Si, en eflet, H=cp = o, liquation (18) donnera Y/=O, d'ou rfr=o, cL alors liquation (19), qui est cclle des lignes geodesiques, so trouvc satisfailc d'elle-m£me. Reprenons notre arc de meridien AB trace -par des moyens geodesiques (cf. § I); ce sera une ligne geodesique, ce qui s'cxprime par liquation (19); de plus, an point A on devra avoir cp0 = o cl, par consequent, H'0=s— HotgXo-HTl'o; ct comme le point A a 6t& pris pour origine des longitudes astronomiqucs et quo, par consequent, H0 est mil, on aura (21) H'0 = Vo- Si 1'arc AB est petit, H, qui est nul a une des extremites, restera toujours tr^s petit, de sorte que liquation (19) pourra s'<$crire ou, a cause de (21), (22) H Et si Ton suppose YJ nul an point A (23) H Liquation (18) devient alors (24) 9 = Les Equations approchees (28) et (24) sont en sommc (jquivalentes aux formules ordinairement employees (16) et (17) et aux nSsultats d'Yvon Villarceau. Definissons les fonctions Y et Z par les equations avec la condition que Y et Z s'annulent au point A. Nous aurons, au lieu de (22) et de (a3), (26) (26) DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODESIE. 187 d'od (27) s = 7ilgA— Y-f-ZtgA. Si Fare AB est tr6s petit du premier ordre, en general yj (considere commc nul au point initial A) sera aussi du premier ordre el il en sera de mdme de H et de <p; mais Y sera du deuxieme ordre et Z du iroisieme; de sorte qu'on pourra ne^gliger les termes du deuxieme et du troisi^me ordre dans les for- mules (26) et (27), qui se reduiroiit aux formules (23) et (24). Mais dans certaines circonstances cette conclusion ne sera pas legitime. Supposons que Ton soil pr&s de F&juateur; le terme rHg/ deviendra beau- coup plus petit a cause du facteur tgA et pourra devenir comparable a Y. Dans ce cas, le dernier terme Ztg}i est n^gligeable, car les deux facteurs Z et tgA sont tous deux tr6s petits; d'un autre cote, nous pouvons prendre avec une approximation suivante : Y= fH<fA= Ar/A, de sorte que la formule (27) qui donne les azimuts devient d'ou Ton tire pour la valeur de r\ o , r 9 <TA Ti = — i- H- COlg A / Z—r- • { tgA 6 J tgX Le second terrne pourra ne pas £tre n^gligeable devant le premier, a cause du facteur cotgA qui est tr^js grand. Cela sera surtout a craindre si les deviations de la verticale sont grandes et varient irr^guli^jrement, comma cela peut arriver dans les pays de montagne. Supposons que, sur 1'arc AB, YJ reste constamment positif, soit nul au point A, croisse d'abord rapidement, puis dt^croisse de telle facon qu'au point B il redevienne nul ou tr6s petit. Alors / rj dk pourra gtre relativement grand, bien que YJ soit nul ou tr&s petit et le second terme de notre formule pourra devenir le plus important. Si on laisse de c6t£ les cas ou se produiraient de semblables irregularity, la valeur de r) a I'extr£mit6 B sera du m^me ordre de grandeur que la valeur moyenne de r) sur Tare AB, et il en r^sultera que le terme j r\ dk sera compa- rable a yj multipli6 par Fare AB (le rayon de la sphere extant pris pour unlt^). j88 DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN G^ODESIE. Par consequent, pour que Ton puissc n<5gliger cc icrmc coreeclif, il fiuiL quo Tare AB soil negligeable devani tg)i, c'esL-a-dirc devaiiL la distance du point B a Fdquateur.- Ce terme correctif pourra done d'aulant plus facilemenl £lre nt5glig(5 que 1'arc AB sera plus court. Mais tout depend de la facon dont cct arc cst compens£. Quand on r^duira un arc de m<5ridien, cet arc sera en g<§n£ral assez long; mais il sera parlag6 en plusieurs sections assez courtes el a Fexlr&nile' de chacune de ces sections on mcsurera les tilgments astronomiques (lalitude el azimul). Si chaque section (Hail calcultta pour elle-m6me, elle serail assez courte pour qu'il n'y eul pas lieu de so preoccuper de la correclioii donl nous avons parlg. Mais en opeSrant de la sorte, on se priverail dcs avantages de la compensation; on ne peut done iraiter les diflferentes seclions indcSpendammenl les unes des autres. Supposons, par exemple, qu'on calcule 1'arc lout enlier, en bloc, en parlant des seules donnees g6od(5siques ; puis qu'on veuille se servir des donn£es astro- nomiques pour calculer les deviations de la verticale aux exlr6mile*s des diff(5- renles seclions. La correction sera alors, en ge"n&ral, n<3cessaire. Pour qu'on puisse s'en passer, en eflel, ce qui devrait y 6 Ire negligeable devantla latitude, ce ne serait pas la longueur d'une des seclions, ce serail la longueur tolale de 1'arc. II faudrail pour ainsi dire, pour avoir le droit de se passer de la correclion, se remettre a Vheure au commencement de chaque section. Je m'expliquc. Soil AB Fare lolal, parlagtS par exemple en n sections : AA2, A2A3: ..., An_iAn, A71B. Si Fare AB esl calculi en bloc, ce sera une ligne gt5odt5sique unique, telle que Fazimul aslronomique soil nul au poinl A, el Fon mesurera Fazimut aslronomique aux points A2, . . . , An, el au poinl B; c'esl de la qu'on d6duira les variations de la verlicale. Dans ce cas la correclion sera n^cessaire, a moms que Fare total ne soil n^gligeable devant la latilude. Si, au contraire, les diflferentes sections sont trail^es ind^pendammenl, Fare AB sera une sorle de ligne bris^e dont les £l<3ments seront des lignes g(5od<5siques. II faudra done distinguer en chaque point de division, au point A* par exemple, qui est un point anguleux de la ligne bris6e, Fazimut de I'6l6menl A^-iA* el Fazimul de Foment A/A/^i. L'azimut des divers ^l6ments AA2, A2A3, ..., A^B aux points initiaux A, A2, . . . , Anj sera nul, et Fon mesurera Fazimut de ces m6mes 6l<3menls aux points finaux A3, A3, . , . , B. En d'autres lermes, on se remettra a Vheure en revenant a Fazimul z6ro au commencemenl de chaque DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEODJiSIE. 189 section. Dans ces conditions, la correction ne serait pas n^cessaire, pourvu que chaque arc partial soil negligeable devant la latitude. VI. Si au lieu d'un arc de meridien on avait affaire a un arc oriente d'une manure quelconque, on pourrait appliquer les formules (3) on (6); mais on peut encore faire autrement. Au lieu de definir la position d'un point sur la sphere par sa longitude et sa latitude, on peut se servir d'un autre systSme de coordonnties, qui seraient d(5finies de la mSme facon que la longitude et la latitude, mais en faisant jouer le role du pdle a un point quelconque de la sphere. Soit alors P le p6le, L et A -+- £ = v la longitude ct la latitude astronomiqucs d'un point quelconque M, et cp 1'azimut astronomique d'une ligne passant par ce point. Soit maintenant PI le point qui dans le nouveau syst&me de coordonmSes va jouer le r6le du p6le, c'est-a-dire ce que je pourrai appeler le nouveau pole; soient de m£me LI et PI la nouvelle longitude et la nouvelle latitude astrono- miques du point considere et cpt le nouvel azimut astronomique de la ligne considee. II y a entre les quantities L, p, cp et L1; PI? cp1? certaines relations faciles a (5crire. Si en effet L0 et t>0 sont la longitude et la latitude du nouveau pole PI et si 1'on envisage le triangle spherique PPiM, les trois cotes de ce triangle sont : - — P0j PM = \ — P, PaM = - et les trois angles sont : P = L — LO, P!=^-+-LO — IM, M = Supposons maintenant que Ton ait mesur<3 un arc AB de ligne g£od£sique de direction quelconque. Je d^signerai par la longitude et la latitude astronomiques du point A et 1'azimut astronomique de AB au oint A ar !g0 DEVIATIONS DE LA VERTICALS EN GEODE~SIE. les nouvelles coordonnees asironomiques du point A et le nouvel azimut astro- nomique au point A. Je d6signerai par LS pi, ?S LJ, cl, o»l les quantity analogues relatives au point B. On calculera Tare AB comme si c'^tait une ligne ggodtSsiqne de 1'ellipsoidc de reference. Mais dans Fanalyse qui va suivre, nous pourrons supposcr quo Pellipsoide de reference se re^duit a une sphere et que 1'aplatissement est nul. L'erreur commise ainsi sera de Fordre de la deviation YJ de la verticale multi- pliee par 1'aplatissement e] comme ces deux facteurs sont tr&s peiits, cetie erreur sera irfcs petite, non seulement d'une manifere absolue, mais encore par rapport a la quantity a mcsurer, c'est-a-dire a Y]. C'esl ce dont on pent, d'ailleurs se rendre compte en comparant les formules (i) et (3) du para- graphe II aux formules (4) et (6) du paragraphs III. Nous pourrons done raisonner comme si I'ellipsoide de reference <5tait une sphere et dire que Tare AB doit <Hre calculi comme si c'etait un arc de grand cercle. Nous choisirons le nouveau pole PI sur ce grand cercle de fagon que AB soit un arc d'un nouveau meridien. On mesurera L°, <^°, <p° au point A. Le grand cercle en question sera ainsi enticement d6termin6 et Ton choisira le nouveau pole PI sur ce grand cercle. On en d^duira LJ, pj? <pj en rt^solvant le triangle sph^rique PP4M (qui se r^duit a PPi A), comme il a <5t<* expliqu^ plus haut. On aura d'ailleurs Les nouvelles coordonn^es du point B devraient o, s'il n'y avait pas de deviation de la verticale; s est la longueur mesur^e de Tare AB. Les observations astronomiques nous donnent pour ces nouvelles coordonnees du point A LI, oi, <?!, Posons maintenant HI =L! cos PI, •ni=7i cos 9 — j-sincp; ?i= f\ sin 9 de sorte que HI, vu, Y4, Zi jouent par rapport au nouveau systdme de coor- donn^es le m6me rdle que H, v), Y, Z par rapport a Tancien. DEVIATIONS DE LA VERTICALE EN GEOD&SIE. 1 91 L'arc AB £tant un nouveau meridien, les formules du paragraphe pr^c^dent seront applicables et nous aurons =-r\i, 91 PI == latitude g6od<5sique + £4. Je n'aurais done rien a changer a ce que j'al dit an paragraphe pr<5c6dent si 1'on mesurait soit L4 d'ou H1; soit cp4. Mais ce que 1'on mesurera, ce sera soitla longitude L, soit 1'azimut o (^rapport^s au syst&me de coordonn^es habiluel). II est inutile d'ecrire explicitement les relations entre LI, (^, cpi, L, r et 9. La consideration du triangle sph<5rique PP4M nous donne trois relations entre L1? PI, L7 p et <^ — cpi- Nous aurons done une relation enlre 9 — 9*, LI et t^i et nous pourrons 6crire En faisant dans cette equation 1Li=G)i=o^ r1=fr?j4-^, on aura 1'azimut calculi En y faisant Li = LJ, oi = 9J, ^r^pj, on aura 1'azimut astronomique observe que j'appellerai cp + oop; on aura done en posant d'ou (28) s^^tgP. Si Pare est tr&s petit, on peut n^gliger Yt et Z± et £crire simplemenl i dF dF of-THigpH- — ou / J ^ — Mais si Pare est tr&s petit, on peut appliquer simplement les formules ordi- naires de la deviation de la verticale, de sorte que 5^ = 71 tgX. lg2 DEVIATIONS DE LA VERTICALS EN G^OD^SIE. En identifiant on voit que i dF — 2 de sorie que la formule (28) devient i dF En secondc approximation, on pent negliger Z4 cl prendre Y,= AII^PI; d'ou (29) 5? = rn ig^ — / 'li ffoi, (30) -/I = 3?cotgA-hcotgXJ Thflfri. Sous les latitudes dquatoriales le facleur cotgA cst tr£s grand, de sorle quo le lerme correctif peut <Hre sensible, bien que J m dvt soit petit. Ces conclusions ne seraient pas modifies si Ton tenait compie de Papla- lissement, cjest-a-dire si Ton prenail pour surface de reference un ellipsoi'de et non une sphere. Les formules finales conscrveraient la m£me forme, setilement les coefficients devraient subir une correction qui pourrait aller au plus au centime de leur valeur. On voit par ce rapide expose de quels pi&ges on devrait se d(ifier si 1'on voulait determiner pr^s de l^quateur les deviations de la verticale par le moyen des mesures d'azimut. Deja dans sa triangulation de Java, sous une latitude assez basse et dans un pays tr£s accident^, M. Oudemans a rencontr<5 des difficiilt&s analogues. II r^sulte, en effet, de Tensemble de ses determinations que les deviations de la verticale deduites des mesures d'azimut sonten general et systematiquement trois fois plus grandes que les deviations deduites des mesures de longitude (dans des stations diflferentes, il est vrai). Dans ces conditions, il est clair qu'il vaudra mieux, dans un grand nombre de cas, s'abstenir de rien deduire des mesures d'azimut prises prfcs de Pequateur, djautant plus que toute erreur commise dans cette mesure se trouve affectee du facteur considerable cotgX. Remarquons encore que dans la formule (29) le terme principal ne depend que de 73, tandis que le terme correctif depend de *?, et par consequent a la fois de £et de YJ. TROISIEME PARTIE, — THEORIE DES MAREES. SUR LtQUILIBRE DES MERS Comptes rendus de V Academic des Sciences, t. 118, p. 948-902 (3o avril i8g4). La theorie des marecs n?est pas encore faite ; la precision avec laquelle on les predit ne doit pas faire illusion, carles precedes employes sont semi-empiriques. Laplace n'a pu arriver a integrer ses Equations qu'en supposant qu'il n'y a pas de continents, et que la profondeur de lamer ne depend que de la latitude. Cette hypothec est beaucoup trop eloignee de la nSalittS pourqu'on puisse rien conclure du r^sultat qu'il a obtenu. L'etude des oscillations a longue periode el en parliculier de la inaree bimen- suelle est relativement facile ; on peut y n^gliger, en eflet, Finertie du liquide et la force de Coriolis, ce qui r^duil la question a un simple probleme de Statique. L'importance de ce probl&me a (5te mise en Evidence dans le Traite de Philosophic naturelle de Thomson ct Tait. Ces deux illustres savanls, aides par M. G. Darwin, ont cherchg, en eifet, en comparant la theorie avec les observations, a reconnaitre quelle deformation ^lastique subissait la jmasse solide du globe sous I3 influence de 1'attraction lunaire. Lour conclusion est que le globe terrestre presente une rigidit<3 t5gale a celle de 1'acier, sinon une rigidit^ plus grande encore; Loutefois les rcsultats sonl trop discordanls pour que cette conclusion soit absolument ccrtaine. Ces discordances sont dues, sans doute, pour la plus grande pan, a Tincer- titude des observations; mais Fimperfection de la theorie y est peut-^tre aussi pour quelque chose. Dans les paragraphes 806 a 810 de 1'Ouvrage que je viens de citer, on H. P. — VIII. 20 I94 L^QUILIBRE DES MERS. cherclie a tenir compte de k presence des continents, mais en negligeant 1'attraclion muluelle des caux soulevees; dans le paragraphe 815, on lienl compte de cette allraclion, mais en suppusant qu'il n'j a pas dc contiuenL; il arrive alors que 1'amplitude de la mart5e cst, par FefFet de colie attraction, multipliee par un coefficient dont 1'expression est tr&s simple ; mais la valeur de ce coefficient pourrail toe considtfrablement modified par la presence des continents. II y auraii done lieu de poussser plus loin Tapproximation; 011 rendrail ainsi plus facile et plus sure la discussion nouvelle des observations, qui pourrait 6tre enlreprisc des que celles-ci seront plus nombreuscs ol plus exactes. Voici comment le probltJine se pose analyliquemenL : Soient i, le rayon du globe suppose spherique; A, la sur^l^vation des mers; <r, la density du globe lerreslre; i, celle des mers. Soifc V le potentiel du a 1'aitractioii de 1'ean soulev^e, de Lelle sortc que, si da est un d(5ment de la surface de la sphere terrestre et p la distance de cet element au point (#, y, j&), on ait Si alors je designe par r la distance du point (#, y, j) au centre de la Terre et si j'envisage en particulier la valeur de V pour r = i , on aura ar Ju d(5signc par cp la ibncLion perturbalrice (qui, d'aprtjs 1' approximation g^n^ralement admise, est a la surface de la sphere une fonction sphtSrique du second ordre) et par C une constants que je me reserve de determiner plus tard. On aura alors a la surface des continents h = o; d'ou 2-3 — h V ! et a la surface des mers L'EQUILIBRE DES MERS. 195 djou 2 ^ + V = E ( V - 9 - C) = £V •+- '^ en posant Ces conditions, jointes a Fequation de Laplace AV = o et a la condition de la Constance du volume total des eaux, d(5termiiient V et h. Clierchons alors a de"velopper V et h suivant les puissances croissantes de i- en posant ( I ) V = V0 -4- V4 J 4- V2 ?a -h . . . , A = ?1Q -h 7i , £ H- Ao E» -h . . . . Toutes les quantite"s hi doivent s'aiinuler a la surface des continents et Ton aura, d'autre part, a la surface des mers, -., — On en deduit les integrales e*tant etendues a tous les elements dco de la surface des mcrs seulement, ainsi que toutes celles que nous aurons ik conside'rer dans la suite. On peut se demander si les series ainsi obtenues convergent. Lareponse doit (^tre affirmative, comme le prouve la m^thode de Scliwarz convenablement modifiee. Si nous posons, en effet, / V»Vmrfft) = W^.n, *j nous voyons ais^ment que Ton a WTO.n = Wm+n.0 = WOT+TZ ; Wn > o ; ^ < ^~ < ^ < De plus ,^+1 csl toujours plus petit quo i, et si ^ cst <5gal a- ^a somme ** n de (p -f- i )2 fonctions donnees multipliees chacune par un coefficient arbitraire, on peut disposer de cos coeficients arbitrages de telle sorte quo ig6 L/EQUILIBRE DES MERS. Si alors u est la limito do u, n pour n infini, on pourra trouver des nom- W/H-I bres k et g lels que ce qui prouve que les series ( i ) convergent uuiformement, pourvu que £ <C [/.. La fonction V est une fonction mgromorphc dc £; soit kt Tun des p6les; le residu correspoiidanl sera un coefficient constant A/, multiplied par une fonc- tion m satisfaisant aux conditions suivanles : \Ui == o (a I'interieur du globe); / u\dt& = i ; 2 -T7 •+• lit = o (a la surface des continents ) ; 2 --~i H- ui =s £/«j (a la surface des mers). fir Les fonclions w, jouent, par rapport a un globe doiil la surface est formee de continents et de mers, Ip m^mc r6le que les fonclions sph^riqucs par rapport a un globe entiferement recouvert par les eaux. Une fonction quelconque peut, a la surface des mers, toe d<5velopp(5e en sdrie proc^danl suivant Icsfonctions u^ soit /= / d'oCi 11 resLe a determiner la conslante arbitrairc C, qui eiitrc implicitement dans ^ ; on le fera en gcrivant que le volume des mers demeure invariable. S'il n'y avait pas de continents, les fonctions ui so r(Sdiiiraieiil aux fonclions spheriqucs ; on aurail . /Cl = I, /Ca = A'a = /Lj. = 3, /tg s= 5 5 et v = As lt* "5-?* Pour passer du rgsultal oCi £ esl neglige an resultat exact, il suflit alors de le multiplier par le facteur (3) —i-; L'EQUILIBRL DES MERS. 197 si maintenanl on tieiiL comple des continents, IPS nombres /r/ augmentenl et le facteur precedent devient Mais, ot c'est la que je voulais en venir, les coefficients Ai7 A2, A3; A/, ne sont phis nuls et la formule (2) contient des termes ou entrent les facteurs S z = 1,2,3,4). lesquels sont notablement plus grands que le facteur (3). II est tr&s probable que, avec la distribution r6elle des continents, les coeffi- cients AI, A2, A3, A4, sans 6tre nuls, sont n^gligeables. MM. Thomson et Tail auraient alors eu raison de dire an paragraphe 816 que 1'attraction mutuelle des eaux n'altfere pas sensiblement les rgsultats. Mais la verification reste a faire; dans l'6tat actuel de la th^orie, elle entrainerait sans doute des calculs fort p^nibles et hors de proportion avec le but a atteindre. Peut-£tre cependant les considerations qui precedent aideront-elles d'autres chercheurs a Irouver une raethode assez rapide pour qu'on puisse calculer une liniite sup^rieure de A4, A2, A3 et A4. SUR L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS Journal de Mathernatigues, 5C serie, I. 2, p. 57-102 (1896). Introduction. Le probl^me des marges pr6sente une telle complication qu'il ne pent gu&re 6tre abord£ du premier coup dans toute sa g6n&ralit<5 et qu'il convient deparlager la difficult^. II faudrait tenir compte a la fois de Pat-traction des astres, de cello dubourrelet liquide, qu'ils soul&vent, de 1'inertiedu liquide, de la presence des continents, de la rotation du Globe et de la force centrifuge composite, etc. Peut-6tre serait-ce s'acheminer vers la solution complete quc d'examiner s6par£ment chacune de ces difficult^ et de chercher a r^soudre le probl&me quand on n'a a triompher que d'une seule d'entre elles. Si les astres gtaient fixes par rapport & la Terre et entrain^s dans son mouve- ment de rotation, le probl&me serait beaucoup plus simple, puisque la surface des oceans prendrait une position d'gquilibre dont elle ne s'^carterait plus. On n'aurait plus alors a tenir compte ni de Pinertie du liquide, ni de la force cen- trifuge compos^e et Pon serait ramen6 £ une simple question de Slatique. On pourrait encore se contenter de cette approximation si le mouvement des aslres gtait tr6s lent; les mers prendraient alors une forme tr&s pen diff(5rente de leur figure d'gquilibre. Malheureusement il n'en est pas ainsi et cependant la solution de cette ques- tion peut avoir une importance pratique; les oscillations r^elles des mers L'EQUIUBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 199 peuvenlelrc regard^os comme la superposition dfun grand nombre d'osciila lions p&riodiques. les unes a courte, les aulres a longue pdriode. Chacuno de ces oscillations partielles so comporte comme si elle e*tail seule. Les oscillations a tr&s longue p<5riode peuvent alors se calculer par la mgthode siatiquo. GVst co qu'ont tres bien apercu lord Kelvin el M. Tait (>/. Tail et Tliomscm, Traite de Ph ilosophie n aturelle } . Cette <3tude statique serait cxtrdment simple si les oceans recouvraient toute la surface de la Torre ; Femploi des functions spheriques donnerait une solution immediate, soit quo Ton neglige Pallraction du bonrrelet liquide. soil qn'on en tieiine comptc. La presence des continents complique le probl&me; si Ton neglige Fallrac- tion du bourrelet liquide, il suffit d'appliquer une correction tr£s simple; c'est ce qu'ont fait Tait et Thomson. J'ai voulu le trailer en tenant comptc a la fois de Fatlraction du bourrelet et de la presence des continents; j'y suis parvenu en introduisant certaines fonc- tions dont les proprietors rappellent celles des fonctions sph<5riques, mais qui dependent de la forme des continents. Je me suis occupe ensuite des oscillations a courte periode, mais en negli- geant d'abord I attraction du bourrelet liquide. II est d'abord ais6 de voir que 1'^tude des oscillations eprouv^es par la mer sous 1'influence des mouvements des as tres se ram^ne a celle de ses oscillations propres, c'est-^.-dire de celles qu'elle e^prouverait, si elle etait soustraite a cette influence et si ellc 6tait ^cart^e de sa figure d'gquilibre, puis abandonnee a elle-m^me. C'est ainsi que Pintggration des Equations diff^rentielles lin^aires a second membre se ramene a Fintegration des Equations sans second membre. J7ai done tfte conduit a tStudier les oscillations propres d'un liquide. J'ai suppos^ d'abord que ce liquide etait enferme^ dans un vase assez petit pour qu'on puisse n^gliger la courbure de la surface d'&juilibre ; j'ai distingue' le cas ou la profondeur est finie et celui ou elle est infiniment petite. J'ai abordt5 ensuite le cas ou le vase est assez grand pour qu'on doive regarder la surface d'^quilibre comme sph^rique. J'ai fait ressortir Fanalogie de ce probleme avec celui des vibrations d'une membrane tendue dont je me suis occup<5 dans les Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. Enfin j'ai abord6 un probl&me se rapprochant beaucoup plus de la r6alit£ et j'ai tenu compte de la rotation du Globe et de la force centrifuge compos<5e. 200 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. I. — Equilibre des mers. Soil Vi le potentiel dft a la sphere terrestre, Ya celui qui cst du au bourrelet liquide, H- cp celui qui est du aux astres ot a la force centrifuge. Le potentiel total V, + V3 -h <p devra £tre £gal a une constante C a la surface de la mer qui differera d'ailleurs peu d'une sphere \! -H Va -4- 9 = G. Soit p la density de la sphere terrestre, i son rayon, A 1'tSpaisseur du bour- relet, de telle facon que la distance de la surface de la mer au centre de la Terre soit i + h ; nous aurons Soit cr la density du liquide, V2 pourra 6tre regardecomme le potenliel d'une surface attirante; cette surface pourra ^tre confondue avec celle de la sphere terrestre et la densile superficiellc de la mati^re attirante sera cr/?. Si j'envisage la d£riv£e -T-^ * elle aura des valeurs diffdrentcs en un point Lr^s voisin de la sphere, mais inttirieur, et en un point tr6s voisin de la sphere, mais ext&rieur. Pour 6viter toute confusion, je d^signerai par ~-r~ la d£riv<3e en un point int&rieur et par -— la d£riv<5e en un point ext^rieur ; il viendra alors dv* ^v; , , _ --- -ri==4^<rA. dr dr D'autre part, si Va a la surface de la sphere es.t developp^e en st5rio de fonctions sph^riques et que Ton ait V2 = SXW. il viendra d'ou Liquation d'^quilibre devient done L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2OI OU 2? , / i P \ ap a>it_c 4 „ 2V 35 / 3^ ^ "" 3 ' v' Gette Equation devra <Hre satisfaite a la surface des mers; z\ la surface des conli- nentSj on devra avoir h = o, d'ou Enfin, a l'int<$rieur de la sphere, on aura AV2 = o. Nous pouvons simplifier un peu ces notations; supprimons d'abord Pindice a devenu inutile et 6crivons V au lieu de V2. Posons ensuite 3d .. 3o- / ~ 4 \ 3c £A = 5 <P= CD , (G ?^P = — K* 9 P * \ 3 / p On devra avoir a la surface des mers et a la surface des continents 2«fr"i~ ""°" Pour rtkinir ces deux Equations en une seule, j'introduirai un coefficient £ qui sera 6gal a i sur la surface des mers et a o sur celle des continents et j7£crirai (O 2^ + V = Le probl^me consiste alors a trouver une fonction V qui satisfasse a liqua- tion ( i ) a la surface de la sphere et a AY=:0 a Fint(5rieur de la sphere. Pour cela remplacons liquation ( i ) par //v (ibis) . 2 ^--*-V = $eVH-e(* •+-*), a/"* ou | est une ind(§termin^e et d6veloppons V suivant les puissances de £. Soit . p. _ 202 I/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. II viendra 2 ~£ -4- c'0 = el, en g£n<3ral, dvn (a) . 2 -^ + a la surface do la sphere el (3) A a rinltSrieur. Le th(5or6mc de Green nous donne ou, en tenant compte de (2), (4) / (pn^/n-i — i'//*pii-i Les integrations doivent 6tre ^tendues a lous les (^l^menls <r/co de la surface de la sphere. Posons I VmVnSd<* = V,n,n- Liquation (4) niontre que */»,« — 1 := V/?i— 1,7315 et comme, d'ailleurs, Vjn,n == V ntmj on conclut que ce qui me permettra d'^crire avec un seul indice * m,n == * /n-Hrt* Je dis que Vn est essentiellement positif ; en effet, si n = a/?, on a L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2o3 el si n = sp — i , on a V,, = / VpVp-i c dtO = I <> ( 2 ^' -r- P,, ) flfo) = / 2^ ^ flfo) H- ^ t$ rf(0, OQ, en verlu Ju theoreme de Green. La premiere intggrale doit ^tre ^tendue a tons les elements rfr du volume do la sphere et ^ ( c-~- \ est la somme des carr<5s des irois d^riv^es parlielles de py/. Si Ton change <1> en * + /,r0: P« se change en rn -f- /.^«-M ? ^ 2/» °l ^ 2/1-1 so changent en / ({'„ -f- A Pw^i )a£6ftO s= V2ll -f- 2XV2n_l -H A2V2n+2 et vv / (^ -f- Ces expressions, quel que soit X, doivent ^tre positives; c'est-a-dire que les Equations en / O doivent avoir leurs racines imaginaires. On a done ^ 1/z+l < ^ S/i d'ou Le rapport -r?^ va done en croissant avec n. Or //» v% e <a?to / < J Si fn est d^velopp^ en s6rie de fonctions sph^riqties sous la forme nous aurons 2C)4 L'^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Si nous posons |XXo> = A*, il viendra Cv\dv = 3AJ5 et d'ou v«» _ SA« X-±L<f vsll-i""a(2p-hi)A*^ ' v« ^ ' Soil ou cpj., cp2, - • • - 9 ry sonl q foiictions donn^es el ou a*, a2, . . . , <x(J sont des ind<5- termin(5es. Les fonctions V ol 9n seront des fonctions lin<5aires et homog^nes des a, et nous pourrons poser Le rapport y27? depend aussi des a. Or, si # = v3, je puis, quelles que soient les fonctions cp/, choisir les i minxes a de telle facon que le d^veloppement de vn en s^rie de fonctions sph^riques, commence par une fonction d'ordre v — i . On aura alors GonsidtSrons «l5 a2 ..... aty comme les coordonn<5es liomogenes d'un poinl dans 1'espace a q — i dimensions. On pourra trouver dans cet espace une region Rn telle qu'a 1'int^rieur de cette region l'in<5galit<5 (5) soil v<3rifi<3e. On pourra <%alement trouver une region R/l4.i telle que dans cette region on ait Cette region sera tout enti&re contenue dans Rn, puisque '2 On peut en conclure que, quand n croit ind^finimeut, R« tend & se r^duire L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 200 a une region limite que j'appelle R, qui pout se reduire a un seul point, mais qui contient au moins un point. Le rapport -^^-allant en croissant et etant plus petit que i tend vers une limite qui est au plus egale a i ; mais d'apres ce qui pr<$c£de, si le point ai; a2, . . . , 5?? est dans la region R, cette limite sera plus petite que - * On peut done trouver un nombre A tel que Ton ait Vn< A(2v- rr'S pourvu que le point a1? a2, . . . , zq suit dans la region R. Gela pose, il est aise d'integrer Fequation (2). Soient da et du! deux ments de la surface de la sphere; D la distance de ces deux elements, soient et ?'„_, les valeurs des fonctions s et r,z__i au centre de gravite de Foment d on aura Je me propose de trouver la limite superieure de [ vn \ que j'appelle £n. Pour cela, je divise la surface de la sphere en deux regions, que j'appelle R" et Rf//. Ces deux regions seront s^par^es Tune de 1'autre par un petit cercle qui sera Tintersection de la sphere terrestre avec une autre sphere ayant pour centre Pel6rnent rfw et pour rayon p.. La region R" sera celle des deux regions qui contiendra Felement d&. Nous poserons vn = pj -H vl. vnn sera deiini comuic tVi par Pinlegrale (6); seulernent cette integrale, au lieu d'etre etendue a la sphere tout entiere, sera 6tendue a la region Rff; de m^me, vmn sera I'integnjle (6) etendue a Rw. Cela pose, nous aurons Les integrates doivent 6lre (5tendues a R'". La premiere est plus petite que elendue a la sphere lout entiere J mais cette derniere esl egale a 206 car D'autre part, L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. •' = o ou i, d'ou i = t'-. /"' d(&r r d($' ^ i m J 16*202 < J 16*2^ ^ 4njj[* ' car dans Rw on a D > p. II vient ainsi (si le point a1? a2, . . . , a^ est dans la region R). On a ensuite Los inlegrales doivent 6tre etenducs a W; la scconde esl ais6e a calculcr; II vient done d'ou et 2 La quantitc p. csl arbilraire; mais il nous suffit do lui donner une valeur quelconque; I?in<5galit6 pr<5c<5denie peut s'(5crire a et 6 etant des constantcs. Si X csl la plus petite des deux quaniilcte ,=1- et 3 2 2V — I cela s'^crit L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 207 On en d^duit £•* <<ZA2-f- A^j < £•3 < a A* H- A#2 < A3(3 a Comme JJL est arbitraire, je puis prendre 2v — : d'oti II r^sulte dc la que la serie Po-+-5«»i -4- P «>«-*- ... est (pourvu que le point ai7 #3, . . , c/Lq soit dans la region Pi) absolument et uniform&nent convergente toutes les fois que Soit maintenant (7 ) d'ou Si alors V* csl regard^e comme une fonction de £ definie par la seric (7) el si le point «i7 a2 . . . , a7 est dans la region R, cette fonction del; sera holomorphe dans le cercle dc rayon 2v + i . Mais on a d'ou Fun peul conclure que A est une fonction rationnelle de \ * el de £ et que, par cons6quenl, a I7inl6rieur du cercle de rayon av-f- i, V est une fonction meromorphe de £ dont les poles sont les racines de 1'equaticin ^f -f- a? = o. 208 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Commc v est arbitraire, il resulte de la que V est mgromorphe dans tout lo plan et que ses poles sont fixes, je veux dire ind^pendants du centre de gravid de l'gl€ment civ. Je vais maintenant montrcr que les poles sont simples et £tudier les r<5sidus; je veux d<£montrer que, si "£,• ost nn pole et UV le r<3sidu correspondant, on a a la surface de la sphere (8) a^+U, = e&U7, et a 1'interieur j = o. II me suffirait pour cola de repeter le raisonnement que j'ai fait dans mon Mfemoire sur les Equations de la Physique mathematique qui a (Ht5 insure dans les Rendiconti del Circolo matematico di Palermo; il est inutile de le repro- duire ici. Le th^oreme de Green nous donne ou en vertu dcs Equations (i bis) et (8) Ui(gV -+- * -f- A:)] « o ou (6i — i) fsVUK/w^ f Soit alors V ne deviendra pas infini pour £ = ;/; il viendra done — ygUf rfw 4-^(5^ - 0 V'U/srfco = AUK* + A:)rfco, ou pour g == ^j L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 209 II. — Fonctions fondamentales. II n?y aura, en general, qu'une seule ibnction U/ qui satisfasse a 1'equation (8) on plutut toutcs les fonctions qui satisferont a celte equation ne diff&reront que par un facteur constant. Soil Ui une de ces functions; je la choisirai de telle facon quo / SZJjrfto = I, ct la solution la plus generate de liquation (8) sora Uz- = A£ etant un facleur constant; je dirai que ut- est une fonctionfondamentale. II est aise dc voir que, si u\ et u/( sont deux fonctions fondamentales corres- pondaiit a deux nombres differents £/ et E/0 on aura Mais il peul arriver aussi que plusieurs fonctions line'airement ind^pendantes satisfassent a une mtime Equation (8). II n'y en aura en tout cas qu'un nonabre fini (au plus v'-\ si j ^/ j (av — i ). Toutes les fonctions U/ qui satisfont a liquation (8) peuvent s'exprimer lineairement a Faide de y •+- i fonctions lin^airement ind^pendantes que et que je d^signerai par Je pourrai clioisir ces fonctions fondamentales de telle fac.on que /£U?dfo=I, / S Nous aurons alors U/ = Af«/ -h A/+1 iii+ les A <5tant des fac tears constants. Voici quelles regies je suivrai pour le numtSrotage des fonctions u-t et des nombres £$. J'observe d'abord que les nombres £/ sont esseatiellement positifs et plus grands que i . H. P. — vin. a? 210 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS, Je les rangerai par ordre de grandeur croissante. Mais il pourra arriver, comme je viens de le dire, qu'un m&me nombre £,• corresponde & g -i- i fonc- tions fondamentales Dans ce cas, je dgsignerai indiff^remment le nombre £/ par les lettres et le nombre suivant sera Dans ces conditions, le nombre ^ correspondra toujours a la fonction Uk de m6me indice, et au lieu d'gcrire le terme infini de V correspondant an p6le £ = & sous la forme ••__ ^ 3 je pourrai 1'^crire Les coefficients A,- se calculent aist5ment a 1'aide de la formule (9); on trouve A/ = — / £ On aura ^videmment I'in6galit6 (ll) ^v*>2V— I. Si une fonction quelconquc F est developpable en s£rie de fonctions fonda- mentales sous la forme F ssBiM! 4- B2W2-4- . ., on aura, en vertu des relations ( 10), B2-r= /£^F<a?co. L'analogie avec les fonctions sph^riques est done ^vidente. D'ailleurs, il y a un cas ou nos fonctions fondamentales se rgduisent aux fonctions sph^riques elles-m6mes : c'est le cas de e = i ; c'est-a-dire celui ou les mers recouvrent toute la surface du Globe. De 1'ggalitg (6) nous avons d^duit plus haut Fin6galit6 suivante, ou gn repr^sente le maximum de \v/i\' L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 211 Nous avons de m£me d'ou Cette relation, ou les notations ont le m£me sens que dans la relation (6), est analogue a l'6galil£ (6); seulement vn et vn_i sont remplacgs par m et £,-w/. Nous pourons done r^crire l'in£galit£ (12) en y rempla cant gn par le maxi- mum de | M,-|, que j'appelle G/, ^rt_i par le maximum de |E/M/|, qui est ^-G/ et V2«~2= / SPJUtflftiJ par L'in^galit^ devient ainsi Comme ;JL est arbitraire, je puis le choisir de facon a rendro le second membre minimum: je prendrai done d'ou 0|<5< ys' d'oft enfin Nous avons ensuite, par Isin^galitt5 de Schwarz, A? = T Aaf(O^-^)rfo)l"< C&u\du r( La premiere des int6grales du dernier membre est £gale 4 i par la rela- tion ( 10); la seconde peut 6tre regard6e comme donntie; je 1'appelle Q2 et j'en d<5duis |Af|<Q. 2I2 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Envisageons la s£rie 2A/m /j S-fcU Cette s&rie sera absolumenl convergente si la suivanie 1'csi Or, le termc gt$n<3ral de cetlc s<3rie est plus petit quo Or £va>2V — I- Done C' <5tant une constante. Le terme g6n£ral est done plus petit qu'un facteur constant multipli^ par ^ ~. La condition de convergence esl done que/> > 3. Consid(5rons alors la stSrie \V = elle converge uniform gment et reprcSsenle une fonction m^romorphe W qui a monies pdles et m^mes rgsidus que V; on a done .E d6signant une fonction enti&re de ^. D'autrc part, on a la s6rie du second membre convergeant uniform&naent, d'oi'i la s<3rie du dernier terme du second membre est encore absolumenl ct unifbr- mement convergenle. Comme on a, d'autre part, L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2i3 on en dtkluira dE „ .. 2 ^ +- E = cJ Soit alors (13) E on aura _--tt «-, sauf pour /z^o cl /i = 5, pour Icsqucls nous devrons ecrirc los equations suivantes : 2<r/e0 ,* 7 —2 4- ^o = s(4> -4- /: i; Les equations qui defimsseni los en ^onl done a parlir dc n = 6 tout a fait de m£me forme que les equations qui definissenl les r/4. Si done nous de'signons par Em>71 les integrates analogues aux Vm,n, nous voyons que Ces inegalites sont vraies pour n > 10; done a partir de « = 10, lo T7 rapport -^±1 qui est positif va en croissant; el alors a moins que ee rapport ne soil constamment nul, il tendra vcrs une limite diff^rente de o qui sera Tin- verse du rayon de convergence de la serie (i3). Mais la fonction E doit 6tre entire : il faut done que ce rapport soil cons- tamment nul et que Ton ail E/H-i = o, pour n > i o ; on a done / \e\d<* = o? et, par consequent, ^ = o, pour n ^ 6. La fonetion E est done un polynome du 5° degre1. Comme W est divisible par £5, on aura ^videmment fa?2 + Ps?3- 2 1 4 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. On a, d'ailleurs, en comparant les ddveloppements de E, V ct W, Liquation donne alors d'ou Si maintenanl je suppose que Ton puisse trouver cinq fonctions «>i, wa, cv3, 4, (ps telles que dw5 w2 == e^j 2-T- a/* 2 7--- 4, ar ar la s<5rie convergera el Ton aura tout simplement y-V x- C'est ce qui arrivera si la fonction $ + k est continue ainsi que toutes ses d6riv£es et si elle s'annule ainsi que ses d£riv6es des cinq premiers ordres sur le bord des continents. J'ajouterai que, selon toutes les analogies, la s£rie (i4) cst probablement toujours convergente et la formule (i5) toujours vraie. III-IV. — Application aux marees. Supposons done que la s^rie (i4) soit toujours convergente, ce qui donne l/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2l5 La fonction <D est donn£e ; nous pourrons done la dgvelopper sous la forme et nous aurons de m£me Une fois qu'on a admis la possibility du developpement, rien n'est plus facile, comme nous 1'avons vu, que de calculer les coefficients B,- et C/. On a alors Ai = — Bf— Cj*. II reste a calculer la constante A- ; nous le ferons en remarquant que le volume du liquide doit demeurer constant. Or la variation de ce volume est proportionnelle a Je fais remarquer que sur les continents dV „ a3? + v-°- On doit done avoir /(•£+*)*• Or II vient ainsi ce qui dgterminerait la constante k. II faut faire finalement £ = E0» Si Ton suppose que les mers recouvrent tout le Globe, les fonctions fonda- mentales u; se r^duisent aux fonctions sph^riques X^; les nombres & sont dgaux a 2v — i ; v 6tant la racine carr^e de i &. une unit6 pr^s par e$ces* On a alors C| = / zuidto = / Xi<fo>, ce qui montre que tous les C,* sont nuls, sauf C±. 2i6 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. De plus, dans 1'eqiialion (16), tons los tcrmcs / ew/do) soul mils, sauf le premier; il reste clone £d -+- Bi = o. Dans le cas parliculier des marges, <D a uiie forme parliculifere; c'esl une foiiclion spherique du deuxieme ordre; je puis toujours supposcr quo $ = BSX5, puisque le clioix des cinq ibnctions fondamentales z/£S=X, (i = 5, 6, 7, 8, 9), qui doivent &tre des functions sphtiriques du deuxieme ordre, resle arbilrairc dans une certaine mosurc. On a, d'ailleurh, B1=oJ d'ou k = 0, A3 = — Bi} Si Ton fait d'abord £ = o, c'ebt-a-dire si Ton neglige 1'altraclion du liquide sur lui-m^me, il vient Si Ton fait ensuite £ = £0? *1 vient v " 5^u ^ 5 JT=TO ' Comme on a a peu pr&s £0 = ? ? cela fait db of» v = — -~ • 5 22 On voit que 1'erreur commise en n^gligeant 1'attraction du liquide sur lui- m^me est assez faible. Supposons maintenant que la mer ne recouvre plus le Globe tout entier, rnais nggligeons 1'attraction du liquide sur lui-m£me, il viendra V = — L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 317 d'ou, a la biirlace des mers, 2 £L -+- V = $ -4- k. dr La constante A* doit etrc» determintic par la condition quo la variation dn volume total soit nulle. Lord Kelvin ct M. Tail, dans leur Traite de Philosophic naturelle^ out applique cello metliode aux oscillations lentes dont la periode est de six mo is on de quiiize jours; ils ont compare le resultat obtenu avec 1'observation; colic comparaison n'est pas saiisfaisante si 1'on tient compte de ce fait quo la mareo apparenle devrait 6tre diminue'e par la deformation eprouvee par la croute ter- restre elle-m£nie, qui n'est pas absolumeiit rigide. Le resultal nc pourrait s'expliquer qu'en adrneltant, non seulement, quc le Globe terrestre est un solide plein, mais qu'il est beaucoup plus rigide que 1'acier. Sans doute, la m^thode employee paries deux illuslres savants anglais consisle a n(5gliger 1'attraction du liquide sur lui-m^me. Nous venons de voir que, dans le cas ou les mers recouvrent le Globe entier, 1'erreur relative qui est comraise o est de — • Les auteurs concluent qu'elle doit £lre aussi faible dans le cas de la 22 nature. Je ne m'iiiscris pas en faux contre cette conclusion, elle est probablement exacie; je voudrais seulement montrer qu'elle n?est pas aussi evidente qu'on pourrait d'abord le croire Nous avons an lieu de L'erreur relative commise sur un terme de la s^rie est dono Comme Ei est plus grand que 2v — i ? s'il j a des continents, et e*gal a 2 v — i s'il n'y en a pas, cette erreur est plus petite dans le premier cas que dans le second. Mais, d'autre part, les termes en qui disparaissent quand il n'y a pas de continents, ne sont pas mils quand' il y a des continents. H. P. — Yin. 28 2Ig L'^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS. D'un autre c6t<£, on peut concevoir que les valeurs de £n!;a>£a)£i> soient voisines de ce qu'elles seraient si les continents n'existaient pas, c'est-&-dire de i et de 3. Les arrears relatives commises sur ces quatre termes seraient alors voisines de-ou de7- 2 4 On peut done concevoir que, pour certaines formes particuliSres de conti- 2 nents, Ferreur relative commise sur V soit notablement plus grande que — • II est probable qu'il n'en est pas aiiisi, mais pour le verifier il faudrait faire le calcul complet, et a cause de la forme capricieuse des continents ce calcul, m6me rgduit & une approximation grossi&re, serait absolument inextricable. V. — Generalites sur les oscillations. Nous ne nous sommes occup^s jusqu'icique des oscillations &longuep6riode, ce qui est une simple question de Statique; les oscillations a courte p^riode doivent, au contraire, £tre trait^es en tenant compte de Finertie, c'est-a-dire comme une question de Dynamique. Consid^rons d'abord un syst^me dont la position est d6finie par n coor- donn^es quelconques gri} y2) - - • ? qn] soient y't, ya, . - », qn les vitesses, c'est- a-dire les d&rivdes de ces coordonn^es. Soient T F&iergie cin^tique, U l^nergie potentielle due aux forces int6- rieures. Soit le travail virtuel des forces ext&rieures correspondant a une variation vir- tuelle iqi de la coordonn^e qi. Les Equations de Lagrange nous donneront . . d dl dT dU ^ . . Les Qa sont des fonctions donn^es du temps. Je suppose que le syst&me ne s'^carte jamais beaucoup d'un certain <§tat d^quilibre stable. Get £tat d'^quilibre stable devra correspondre a un mini- mum de la fonction U. Je suppose, par exemple3 qu'il correspoade aux valeurs q\ = ya = . • • — qri = o, U « o. Je suppose que U s'annule avec les #, ce qui est permis, puisque Un'est d<5ter- L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2x9 qu'a une constante pr£s. Alors U est d6veloppable suivant les puissances des qa] le dgveloppement commence par des termes du second degr£. Comme les qa sont tr£s petits, je m'arr£terai a ces termes et U sera un polynome homog&ne du second degr6 par rapport aux ga. Avec cette m6me approximation, T sera un polynome homog&ne du second degr6 par rapport aux qa ind^pendant des qa et nos Equations deviendront d dT dU ^ <a> dtd?a + dj-a = ^ Les premiers membres de ces equations sont des polynomes limSaires et a coefficients constants par rapport aux q et aux c[ \ les seconds membres sont des fonctions connues de t. Nous avons done des Equations diflferentielles lingaires a second membre et il faut d'abord int^grer les equations sans second membre, (3) dld^^d^^0' II faut, pour faire Immigration, poser (4) 2a = aaCOsX£, £a = — a«XsinX?, les aa et X 6tant des constantes qu'il s'agit de determiner. Soient T0 et U0 ce que deviennent T et U quand on y remplace les qa et les qa par les art. Quand on y remplacera les qa et les qa par leurs valeurs (4)? on trouvera U = UoCos2X*, T=:T0X2sinn#; ^H =^L0 aqa d&a dT _ . ,,<o?T0 d dT ., ^, — X sin It -= — ; -=- -7-7- = — A2cosX£ dt dq'a de sorte que liquation (3) devient L'ensemble des Equations (5) signifie que X2T0 — U0, qui est une forme quadra tique par rapport aux a^, a son discriminant nul. Liquation qui exprime que ce discriminant est nul est une Equation alg6- brique de degr6 n en X2 ; comme T et U sont deux formes quadratiques d^fmies positives, cette Equation en Xa a toutes ses racines r^elles et positives, Le th6or£me des fonctions homog^nes, compar6 aux Equations (5), nous donne 6videmment = Uo, 220 l/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. et les equations (5) devieiinent J_ ^T° — _L To dxa ~~ Uo dy.a ou ae(5) — de sorto que la resolution des Equations (5) revieiil a la recherche des maxima T el des minima, ou des maxima minimonun du rapport ~ T ~ • Je de^signerai par les 72 racines do 1'equation on X2; les loltros a(^3 seront les valours des art qui satisfont aux Equations (5) en y faisant X = A/. D'apres la thdorie des formes quadratiques, les deux formes T0 ctU0peuvcnt toujours se decomposer comme il suit : To - PI H- - . • H- PS, U0 = (JLiPf -4- ... 4-linPJ, les P dtant des polyiiomes lin^aires et homog&nes par rapport aux afl et les p. (5tant des constantes. On voit tout de suite alors que P* = ^J et que les valeurs des a^ satisferont aux Equations suivantes ^quivalenles aux Equations (5) et qui sont au nombre de ft — i : P* = o (k = r, 2} . . ., i — i ; kr=. i -h i, i-t- 2, . . .j /*). Comme ces Equations ne determinant les a(j} qu'a un facteur constant pr6s, nous disposerons de ce facteur constant de telle sorte que P*(«SP)«i. On a alors ce qui entraine les Equations Voici maintenant comment 011 pourra conduire le raisonnement. L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 221 Le rapport ;^ne peut s'annuler. il a done an minimum A~ qui est atteini pour <y.n =. a(^; assujetissons ensuite les y.a a la condition (7) il y aura encore un minimum (plus grand que le premier), que j'appelle A qui sera atteint pour art = a(;/ . J'assujettis les aa a la condition (7) et, de plus, a. la condition ot j'obliens un nouveau minimum A:, el ainsi de suite. Touies ces considerations permettent de dtSfinir les a^J el les A/ et nous four- nissent, par consequent, la solution complete des Equations sans second membre; revenons maintenanl aux Equations a second membre (a). Les Q« sont des fonctions de t qui pourront toujours se mettre sous la forme d'int^grales de Fourier; mais il nous suffira de nous rtSduire pour ainsi dire a Pun des <5lt5ments de ces intggrales et a poser Qa = les Ra t^tant des conslanies donn^es. Nous pourrons alors r«§soudre les equations (a) en posant qa = «rt cos \t ; c'est eette solution qui constiluera ce qu'on peul appeler une oscillation simple forcee^ tout a fait analogue aux ondes £l£mentaires dont la reunion coiistitue les marges; tandis que nous reservoiis le nora d'oscillations simples propres aux solutions des Equations (3). Les Equations (a) deviennent alors (en divisant par Multiplions les Equations (8) par a{^ et ajouloiis, ii viendra (9) 2(Xf-^)pf(aa)==SRaa(/). Les n Equations (8) sont ainsi remplac<5es par les n Equations (g). 222 L'gQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Si Ton avail la solution serait immediate et 1'on aurait On est done conduit a chercher & determiner les n coefficients k i j A 2 j • • • > "^ par les n Equations (10) K^ Pour cela, multiplions ces Equations par a(^ et ajoutons; il viendra, en vertu de(6), 2 Ra«S = 2^-. Les coefficients A^ 6tant ainsi determines, on aura On voit comment PtHude des oscillations forc^es se ram&ne a celle des oscil- lations propres. Dans les probl&mes que nous aurons a traiter, la situation du syst&me n'est plus defiinie par un nombre fini de paramtoes, mais par une infinite; T et U ne s'expriment plus par des sommes de termes, mais par des integrates definies. Tout ce que nous avons dit subsiste d'ailleurs; la mani&re d'etudier les oscil- lations propres par la suite des minima successifs du rapport de T a U; celle de ramener les oscillations forcees aux oscillations propres; enfin les equa- tions (6) ou il faut remplacer les sommes par des integrates et qui deviennent ainsi ces series d'equations, analogues aux equations (10) du paragraphe II, et que 1'on rencontre dans tous les probtemes de Physique mathematique La premiere idee de cette generalisation, qui est le fondement de tout ce qui va suivre, est due a lord Rayleigh. Les equations (n) montrent que les aa sont des fonctions rationnelles de A2 ; ces fonctions sont les analogues de la fonction V etudiee dans le para- graphe I et qui est une fonction meromorphe de £. L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 223 Nous pouvons tirer de ces m6mes Equations ( 1 1 ) afl d£velopp6 suivant les puissances de X2; il viendra avec la condition ft<*)^\ rfX?*+« Fqrmons maintenant les expressions (je suppose, bien entendu, que dans T0 et U0 les art onl 6t6 remplaciSs par j3(U}). Ces expressions sont analogues aux integrates Vm,n considers dans le paragraphe I. On trouve aisgment Ces Equations montrent que les expressions (12) ne changenL pas quand on change m et n en m + A et n — A. Cette proposition est analogue a liquation V/7i,« == ' wz-Hl,n — i d6montr£e dans le paragraphe L VI. — Oscillations propres des licpddes. Gonsid&rons un liq\iide enferm^ dans un vase assez petit pour qu'a Pint&rieur de ce vase la pesanteur puisse ^tre regard^e comme une force constante en grandeur et en direction. La surface libre du liquide en (Squilibre se r^duira a un plan horizontal. Nous supposerons que Ton peut n^gliger 1'attraction mutuelle des diverses portions du liquide et les effets de la force centrifuge compos^e; et nous propo- sons d'&udier les petites oscillations de ce liquide lorsqu'il a 6te peu 6cart^ de sa position d'gquilibre, puisqu'il est abandonn6 a Iui»m6me. A Porigine du temps, le liquide est £cart6 de sa position d'£quilibre, mais il est en repos ; si la forme initiale de la surface libre, 6cart6e de Fgquilibre, est convenablement choisie, le mouvement du liquide sera p<5riodique, et nous aurons ce qu'on appelle une oscillation propre simple. 224 L'gQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Si cette forme initiale est quelconque, le mouvement du liquide rtSsulte de la superposition d'une infinite d'oscillations simples. Dans tous les cas, d'apr^s le th6or£me de Lagrange, comme nous partons du repos, il y aura une fonction des vitesses. Consid^rons le cas d'une oscillation simple; comnio le mouvemenl osi, piSriu- dique, cette fonction sera de la forme <D = o sin A?, cp tUant ind(3pendant du temps. Liquation de continuity sera A9 = o. La pression/?, si nous prenons la density du liquide pour nnild et 1'axe des z dirig^ de hant en bas, sera donn6e par la formule Mais les mouvemenl s (Hant tr^s peiits, nous pouvons n(5gliger le carre de O et il reste . p —gZ — -rff—gZ — XO La force vive du liquide est ggale irr/d$\* (d&\ /rf*\91, sin*X/ Tvi /^9\ -/(T-I-M-T-I-M-T-} ^t:= - ~ *J l\dacj \dy } \ds J J LJint<5gration doit 6tre etendue a tous les dements de volume ch du liquide. Quant a 1'gnergie potentielle, elle est ^gale a rint6gration t^tant <§lendue a tous les 6l6ments rfw de la surface libre du liquide. Cette surface libre, en nggligeant des infinimenL petits, peut £tre assimil(5e a un plan horizontal et nous prendrons ce plan pour plan des aty. Une molecule qui se trouve a la surface libre 6tait dans le plan des xy quand le liquide £tait en gquilibre. La quantity z qui entre dans notre integrate n'est done autre chose que la projection sur 1'axe des s du d&placemenl de cette molecule. Or les projections du displacement d'une molecule sur les trois axes sont t^videmment 6gales a COSA£ d® cosXi dy cosX^ dy ~ dx* T~"5r' ~ dz' L/EQUIUBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 225 L'energie potentielle est done e"gale a D*apr&» ce que nous avons vu plus haul, le probleme csl aiiisi rarnene a rechercher les maxima et minima relalifs du rapport de Tintegrale a 1* integrate La premiere integrate est etendue aux elements <:/7 du volume du liquide et ce volume est limite. d'une part, par la surface de la paroi du vase et, d'autre part, par la surface libre, qui est une portion du plan des xy. La seconde inte- grale est etendue a la surface libre. La foiiction cp est assujettie a deux conditions : i° A 1'interieur du vase, on aura Ac = o. 2° Sur la surface de la paroi, on aura $-0. dn On trouve uu, en vertu du theoreme de Green, I3A= r^8srfca4- r^lSo^o'— Cteovdt. 2 J an " J dn " J La premiere integrate est etendue a la surface libre, le long de laquelle on a dfe> __ dy Hn ~~ ds* La seconde esl elendue a la surface de la paroi; ellc est. iiulle. La troisitoe est <3iendue an volume du vase; elle est egalement nulle. II reste done - 3A = / -T^.O? //o>. 2 J dz ' H. P. — VIII. 25 6 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. On trouve, d'autre part, Mais le theortjme de Green nous donne egalemenl Mais la fond ion cp <£tant assujettie auu deux conditions Acp = o, -^ = o, on devra avoir : Sur la surface dc la paroi ~dii ~ °* Done la seconde integrate est nulle. Dans rinl&rieur du vase Aos = o. Done la iroisi&nc integrale est nulle. Sur la surface libre ~~dn ~~ dz ~~ ds Done enfiii ISA 2 = / 9 s ;r ^to- «/ ^s Soil U le volume du liquidc, ce volume est constant; on a done done Pour que 5 ~ soit nul, il faut que SB = o soil une consequence de oA = o et oU — o, ce qui exige qu'a la surface libre on ait a et b ^tant des constantes. Mais la fonction des vitesses n'est d&finie qu'a une constante pr^s; je puis done supposer b = o. L'&JUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 227 La condition necessaire et suffisante pour que 3 A c'est done que le rapport de 9 a -^ soit constant en tons les points de la surface libre. Ainsi la recherche des oscillations propres simples du liquide se ram&ae a la determination d'une fonction 9 satisfaisant aux conditions suivantes : i° A Pinterieur du vase 2° Sur la paroi du vase 3° Sur la surface libre — : 9 = const. On pent arriver a ce resultat d'une autre maniere. Nous avons trouv6 p = g 5 — AO COS A t. A la surface libre, p est mil, et z est egal a la projection du deplacernent snr Paxe des ^, ainsi que je Pai dit plus haul, c'est-a-dire a On a done <2?<p ^ ^_ =_A-5. La recherche des lonctions o, qui correspondent aux diflPereiites oscillations simples et qui sont analogues dans une certaine mesure aux fonctions fonda- rnentales du paragraphe II, le d^veloppement d'une fonction quelconque en sgrie proc^dant suivant ces fonctions fondamentales, se ferait d'apr^s des pro- c^d^s analogues a ceux des premiers paragraphes de ce travail ou de mon Memoire cit6 des Rendicontf. Mais je pr^fere ne pas m'y altarder et passer tout de suite au cas ou la pro- fondeur du vase est tr&s petite. Soil k la profondeur du vase, de telle fagon que la surface de la paroi ait pour Equation 228 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. . . ..." , f . dh dh Je supposerai que A est tres peat auisi que ses derives ^? ^- Je d^veloppe 9 suivant les puissances croissantes de z et j'ai O = Cpo •+• ?1 -2T H- y * 5- H- . . . . A la surface libre, c'est-a-dire pour z = o, nous devrons avoir d'ou A 1'interieur nous devons avoir Acp = o, ce qui s'ecril (A?o-H - As, -h. . . ) -4- (292 --T- 6^o3-t- i2^23>t-i-. . . ) == o ou, en faisanl s = o, (2) AcoH- 2toa= o. Au fond du vase, c'est-a-dire pour z = h, nous devons avoir Comme les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels a cela peut s'ecrire Or, pour z = h, on a dv dh dh -=-» -7- et — i, dx dy ' ds dx dx dy dy' cp _ po , <9t ~_ ___ — " ^— /<f _- — j— . . < . dx doc dx Je substitue dans 1'^quation (3) en n%ligeanl le carre de A et j'obtiens dh d®b dh, d$>b C4) " Tl 1 ~Ta" - dx^doc-fy ~fy Tirons cp£ et <p2 de (i) et de (2) et substituons dans (4), il viendra L^QUI LIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 229 OU Au bord du vase, on a ^ =3. h = o, et par consequent on a, a lafois, dkp __ _ Aa dy ^ dh dy dh ds dz ~~ g *' dz~~ dx dx dy 'dy* Si nous nt^gligeons A, nous tirons de la a?© -£=0, ?=0 et, comme £ est nul, 90=0. Ainsi la fonction <p0 doit satisfaire u liquation (5) en tous les points de la surface libre qui est une aire plane et, au bord de cette aire plane, elle doit s'annuler G'est cette condition a la limite que nous adopterons; mais je dois observer que, pour Tetablir, j'ai du supposer non seulement que h est tr6s petit, mais que ses d6riv6es le sont <5galement; de sorte que, sur le bord, le fond du-vase prgsente une pente tr^s douce. Si, au contraire, j'avais suppose que pr&s du bord la paroi du vase est verti- cale, j'aurais du remplacer la condition a la limite 90=^0 par la suivante : On peut arriver au m&me r«5sullat d'uhe autre manure. La force vive est ggale a Or 23o L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. ou, puisque 3 esl ires petit. ' \dy) -*" et, comme on a — _ „ ?i — g ,o, la force vive est egale a siii-Xz /", , r/^9o\"" /<^?oV A* 2 "I 2 .y i<rw[\7/5/ "'"V^r/ ^p90] LT&iergie potentielle est^galea Mais liquation. (4) monlre que Q! (el par consequent A2) ost une quantity petite de 1'ordre de h ; nous devons done n^gliger le lerme en cpj dans 1'expression de la force vive qui se r^duit a D'ailleurs, nos formules montrent suffisamment que Fthiergie cinetique moyenne est de Tordre de h et T^nergie potentielle moyenne de Pordre de A2 ; et comme 7 dans une oscillation simple, ces deux Energies moyennes doivent &tre £gales, on doit conclure que A2 est de 1'ordre de A, ce qui justifie une fois de plus la reduction que nous venons de faire. Cela pos<5, la recherche des oscillations simples se ram&ne h la determination des maxima et des minima relatifs du rapport de 1'int^grale a Pint£grale L'application des regies du calcul des variations nous conduirait a liqua- tion (5), que nous avons obtenue directement, Comparons a un probl^me en apparence tr&s diflf^rent, celui des vibrations d'une membrane tendue. L'^nergie cinetique est proportionuelle alors a I7int($grale B / L'EQUiLIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 23 1 o deslgnanl Tepaisseur de lu membrane el o le emplacement d'un point de la membrane par rapporl a sa position cPequilibre. Ce d^placemenL est suppos^ normal a la membrane. L'energie potentielle esi proporiionnelle a I'integrale // designant la tension de la membrane. D'aulre part, sur le bord de la membrane, la function o doit s'annuler. Le probleme consislo a rechercher les maxima et les minima relatifs du rapport i. Mais les Integra les A el B sont les monies quo dans le probleme qui nous occupait d'abord ; il suffit d'y fa ire p = i . Le probl&me des oscillations d'un liquide dans un vase pen pro fond esl done identique an probl&me des vibrations d'une membrane d'^paisseur constante, mais de tension variable. J'ai trait<5 compl^tement le probleme de la membrane dans mon Memoire cit(5 des Rendiconti; J'T ai suppose, il est vrai, la tension constante; mais mon analyse serait encore applicable, mutatis mutandis* an cas de la tension variable. VII. — Influence de la cottrbure. Supposons maintenant que le vase soit assez grand pour que la surface libre d'^quilibre ne puisse plus &tre regard£e comme plane, mais doive 6tre consi- d^r^e comme sph^rique. Je suppose toujours qu'il n'y a pas de rotations et que Ton neglige Tattraction du liquide. On aura, dans une oscillation simple, pour la fonction des vitesses, cp titant ind^pendant du temps. A I'iut&ieur du liquide, il viendra A<p = o. La press Jon JE? sera, en n^gligeant le carr6 de 4>, 232 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. a et b designeiil ties const antes el /' la distance au centre cle la sphe.ro. Cela peut b'ecrire d'ailleurs = - — X® COS X £ — & . La force vive est egale encore a -^ et Pe'nergie potentielle a 1 a C . j *&J ?**• JL'inte'gration est e'tendue a tous les e'le'ments rfw de la surface libre sphe'rique d'^quilibre ; R est le rayon de cette surface et R -f- p la distance an centre djune molecule de la surface libre apres deformation. Les projections d'une mole'cule sur les trois axes sont cos X t dv cos A t d® cos X t dy ~ fa' X~ dy* T~^* La projection sur le rayon vecteur sera cos X t dy T"^' II est clair qu'en un point de la surface libre on a d$ __ dv _ sc dv y dy s dy dn ~ dr r dx r dy r dz ' L^nergie potentielle est done e"gale a cos*X* a -33 II faut maintenant chercher les maxima et les minima relatifs du rapport de Pinte'grale a rinte"grale II vient L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. o33 Lt»& notations onl m£mc signification quo dans le paragraphc precedent; on a encore et sur la paroi du vase 11 reste 1 r dS® , - oA = / c — = — aco, a J ' dr D'autre part, — SB = / -7- — = — dto. 2 J dr dr Enfin, U etant le volume total du liqtiide, on doit avoir 3U == o, c'est-a-dire J-£**=°- II faut que 3A = o soit une consequence de 3B = o, 3U = o. Cela exige Commc q> n'est determine qu'a une constante pres, je puis supposer (3 = o. D'aillenrs, a la surface, la pression est nulle; d'ou — = X® cosXf •+• b^ ou a __ Rn-p ~" ^ ou a a? __ , II faut prendre la constante b e*gale a g et il vient, en remplacant p par sa valeur, d'ou ^? — ill dr ~" a Passons maintenant au cas oil la profondeur est infiniment petite. H, p. — vin. 3o 2>3i L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Soil Pi 4- p la distance d'une molecule an centre; <lt?veloppons cp suivant les puissances do p el ecrivons On dovra avoir a. la surface libre cl'ou La force vive esl tfgale a 2 J [_ ^ \ftrj J fci // esL la profondeur el Dcp lo cam* do la composante de la vitesse perpendi- culaire an rayon vecteur. On peut prendre' "T"J et, comme Xa est Irtjs petit, n^gliger le terme en ( -~ V* II restc pour la force vive / h Doo dtt). L'^nergie potentielle esL, d'autre part. "IT" 7&J (&) ***** ~a~~2fV~J * Le problfeme est done ramen£ a la recherche des maxima et minima relatifs du rapport de Pintggrale A = / a P integrate De plus, cp0 doit s'annuler au bord de la mer. Consid^rons sur la sphere les courbes cp0 = const. ; envisageons deux de ces courbes infiniment voisines, correspondant aux valeurs 90 et ^p0 -+- d<$Q ; soit dv L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. ?35 la distance d'un point de la seconde courbe a la premiere courbe, estiinee suivant la normale a cette premiere courbe ; nous aurons Faisons la representation cunforme de la surface sphe*riquo de la mer sur une aire plane; par exemple par projection stere*ographique. Considerons les projections des deux courbes 3<> = consl. ot soit <kf la dis- tance de ces deux coujbes estimee suivant la normale ; on aura Y 6tant le rapport de similitude d'une figure plane infinimcnl petite a la figure sphe'rique correspondante. Soit dcd la projection de l'(5l£menl d& de la sphere, on aura ^0>'= v2 flfo). 11 vient aiiibi Rapportons la figure plane a deux axes rectangulaires, celui des a?' et celui des y', nous aurons r/w' = dxf dy': d'ou Le probleme est ainsi ramene* a celui de la membrane, avec une e'paisseur variable — et une tension variable h . T2 Je me reserve de revenir dans un prochain num^ro sur le m^me sujet. J'ai jusqu'ici n^glig^ les effets de rotation du globe et de la force centrifuge compo- se*e; il me faut maintenant en tenir. compte; les rgsultats obtenus subsisteront dans leurs traits ge*ne'raux> mais ils seront sensiblement modifies et compliqu^s. 23C L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS. La recherche des oscillation^ prop res simples dans Ic mouvomcnl rolalif se ramene, comma dans le cas du mouvemenl absolu, a ljinte"gration d'un sysleme d'e"quations differentielles ]in(5aires a coefficients constants el le principe de moindrc action nous apprond quo colic integration so rallache anssi a une question de minimum. Apr&s avoir expose les principes gent?raux qui regissent cette question, nous les appliquerons d'abord au cas d'un liquide oscillant dans un vase tournant assez petit pour qu:on puisse n(5gliger la courbure de la surface; puis, enfin, au cas des mers; mais nous n<5gligerons toujours Fattraction interne du liquide. SUR L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS Journal de Mathematiques, 5B serie, t. 2, p. ^17-262 (1896). VIII. — Mouvement relatif . J'ai jusqu'ici neglige les efiets de la rotation du Globe ct de la force centri- fuge compos^e; pour en tenir compte, je rappelle d'abord les principes fonda- mentaux de la dynamique des syst&mes en mouvement relatif et, plus gtinerale- ment, des syst&mes ou interviennent des forces gyrostatiques. Soient gi: q^ ..., qn\ qn^, q,M, ---, gWc les n + k coordonnees qui d^finissent la situation du systeme. En reprenant les notations du paragraphe V, les Equations de La grange s'^criront d_ dT dT dti _ (1) dt dj't dqt ' d^i "^ Parmi les parametres q, nous distinguerons : i° qii q^t • • sj qm que j?appellerai les qa ou les parametres a variation faible; a° ^i-n, <//*4-2? ••-? 2W/0 que j'appellerai les qi, ou les parametres a variation rapidc. Je supposerai que T et U sont independanls des q^ T dependant seulemcnt des qb ; et que Q6= o. L'equation de Lagrange dcvient alors d eft 238 L'iQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS. cl'ou b (jtant une constante. Soil maintenant Dea equations (2) on peul tirer les q'b en function des ^«, des q'a et des constanles /j&; el si 1'on subslitue dans H les valours ainsi trouvees, H n'est plus fonction que des qa et des qfC Pour eviter toute confusion, je dtfsiguerai par des d ordinaircs los derivdes prises par rapport aux qa et aux qu en regardant les q'b comme des variables indtipendantes et par des d ronds les d(5rivt5es prises par rapport aux qa el aux q'a en regardant les qi comme des fonctions des qa ct des qn. II vient alors — 'Isit dq'b dqa ou, en verlu des equations (2), de sortc qu'avec les nouvelles variables les equations de Lagrange deviennent (3) f-^L-^i^Qrt (a«i,2 n) Si les forces ext&ieures sont nulles, ces Equations se r^duisenta dont la signification est bien connue. Elles veulent dire que Faction hamil- tonienne. Hdt fn doit &tre minimum. L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS J>ES MESS. 289 Les equations ^3 his) entrainent la suivante, qui est liquation de la conser- vation de 1'eJiergio — E = H — V -r-r q'n = const. Dans le probleme qui nous occupe, nous aurous un seul parametre a varia- tion rapide q\t : c'est Tangle dont le globe solide terreslre a tourne autour de son axe a parlir d'une certaine position prise pour origino ; sa derivee q'b est sa vitesse angulaire de rotation. Nous aurons une infinite de parainetres a variation faible qtl qui definiront la position relative des particules liquides par rapport au globe solide. T est un polynome hoiuogene du deuxieine degre par rapport aux qa et aux jnp qb ; L ne depend pas de ces quantites; les -r-> sont des polynomes homogOnes du premier degre en q'a et q'b. Les *qb tire's des equations (2) sont des polynomes du premier degre non liomogenes par rapport aux qtt\ H est done un polynome du deuxieme degre non homoge-ne par rapport aux qa. JJobserve que H n'est determine qu'a une constante pre-ss puisque cette fonction n'intervient que par ses derivees ; je puis done, sans restreindre la generality supposer que H s'annule avec les qa et les q'a* de sorte que son d(5veloppement suivant les puissances de ces quantites ne contiendra pas de termes de degre zero. Je pourrai m£mej sans changer les Equations (3), ajouter a H un terme dela jrt forme A^'fl, A e*tant un coefficient arbitraire ; cela revient en effet a ajouter a j-y , 4-1 d dK la constante A; ce qui ne change pas -T- j-r • Je puis done encore, sans restreindre la generalite, supposer que, dans le d£veloppement de H, les termes du premier degre par rapport aux qf et de degre ze*ro par rapport aux q disparaissent. Enfin jo supposerai que les valeurs qa = 0, q'a = O correspondent a une position d'equilibrc stable ; les equations (3 bis) se re"duisent alors a - 3w Ainsi les derivees premieres de H doivenl s'annuler pour q(l=^q'a = o; ce 240 1/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. qui montre que le developpemeiil de H ne contient pas de lenues du premier degrt§ et commence par des tcrmes du deim&xue degr<3. Quant aux termes de degre sup<5rieur au second, nous pouvons les negliger, parce que les ya et les qa sont tres petits. En definitive, nous pouvons regarder H commc un polynomc Iiomog&ne du deuxi&me degre par rapporl aux qa el aux g' et nous i?cr irons HssIJj-f-alliH-llu. Ha sera du degre 2 par rapporl aux q'a et de degre o par rapporl aux q(l. HI sera du degre i par rapporl aux q'a et de degre t pur rapporl aux qa. H0 sera du degrc o par rapporl aux q^ ct de degre 2 par rapporl aux qa. L'energie E sera alors evidcmmcnl t^gale a E = H2-H0. ]jes equations (3) dcvicnnenl alors des equations lineaires a second membra et a coefficients constants; et les Equations (3 bis] sont les m£mes equations sans second rnembre. Pour int^grer ces Equations sans second membre, posons qa ~ *a «^*j nous aurons n equatiozis lindaires et homog&nes par rapporl aux n quanliles aae^i en tJcrivant que leur determinant est nul, on oblicndra une equation de degre 2 n en A, qu'il s'agit d'etudier. Cette equation a £t£ etudi(5e d'une mani^jre approlbndie par Taiiet Thomson dans leur Traite de Philosophic naturelle. De tous les resultats interessants qu'ils out obtenus au sujet de la r^alite des racines, un seul nous est n<5cessaire. Si les formes quadratiques H2 et — H0 sont definies positives (Vest le cas auquel nous aurons affaire), toutes les racines sont r^elles, IX. — Etude des equations sans second membre. Ces r^sultats bien connus etant rappel6s, cherchons a t^tendre a ce probl&me ainsi g^n^ralis<5 les resultats du paragraphe V. Le principe de la moindrc action de Hamilloii nous apprcnd que l'inl<%rale doit <Mre minimum; a la condilion quo les qn soienl assujeltis a avoir des valeurs donn^es pour t = tQ el pour t = ti . L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 241 Si cette condition n'^tait pas remplie, nous aurions Si le mouvemenl est assujetti a &tre periodique de periode fL — - expressions reprendront les mtaies valeurs pour t = tQ et pour t = t\.« et Ton aura encore 3J = o Ainsi I'inlegrale J est encore minimum si le mouvement est assujetti a etre periodique et si I'inlegrale est <*lendue a uiie periode entiere. Cela pos£, soit une solution (imaginairc) des equations (3 bis} el la solution imagiuaire conjuguee. Si nous faisons ( 4 ) • qa =s Y « e+ AJK -j- o« PinttSgrale J prise entre les limites, t = o et £ an moins sa premiere variation devra s'annuler) quand on j fera PinttSgrale J prise entre les limites, t = o et £ = ?^ devra etre minimum (ou tout Vojons quelle est la valeur de cette integrate. L'expression de H, quand on y substitue a la place des qa leurs valeurs (4)7 se composera de trois termes : i° un terme en£2/A**, qui sera homog&ne du deuxi^me degr<5 par rapport aux y,,; 2° un terme ind^pendant de t* qui sera homog£ne du premier degr6 taut par rapport aux y« que par rapport aux o(t ; 3° un terme en e~2^^, qui sera homog&ne du second degr<5 par rapport aux dffl. Soient H;, H;/, H/7/ ces trois termes H = H'-hir-h Hw. Les integrates de H' et Wr sont nulles ; de sorte que T — 'if H" j — ^ — jii . A* La variation &W de IF doit done 6tre nulle, quand ya = «C0A), oa= j3^}. H. P. — VIIL or 242 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Mais, a cause do la forme biiineaire de H", cela pent encore s'6noncer autrement : H" doit elre uul quols que soient les y,, quand on y fail 5M= (3^ et qtiels quo soient les 8a quand on y fait Y/» = a^* Voyons quelle est la forme do H". Nous avons pose Nous devons reinplacer les qtl par et les qa par On \oil quc H2 conliendra A] en facieur et que Hi contiendra A/,-, H esL done un polynome du dcuxieme degre en ?i/:. Nous devons ensuile conserver les termes independanls dc t] nous aurons alors Ma, MI et M0 6tant cles formes bilin^aires en yw el 3a. H" ne doit pas changer quand on permute yrt et 8a et qu'ou change X/f en — //:. On a done D'apres ce quo nous venous de voir, on doit avoir, quels que soient les On aura done en parliculicr (5) et, de mdme, ou, ce qiu revienlua Les deux relations (5) et (6) montrent que liquation (7) L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 243 a pour racines A = Ajfc, A=— Am. Reprenons liquation des forces vives H«— H0= const. Cette Equation doit Gtre satisfaile en particulier quand on fait ?«=«</' e^i'-H aW d*W. Le premier membre de 1'equation des forces \ives contienL alors des termes on e-A*e, e2zA'»', 0"'.A^A»''. Le coefficient de cetto derniere exponentielle doit s'aniiuler, a moins que AX-H- Am = o: Supposons done (8) A*£ — A™; le coefficient de cette exponentielle est nul, ce qui entraine l'6galit£ (9) -AA^MoK*', aJj»>)-M.raSf), «<«>) = o. Nous pouvions le pr^voir, car le produit — AA-Xm des racines de (7) doit £tre Gonsid6rons quelques cas particuliei^s : si Ton fait A" = m, 1'^quation (5), liquation (6) et liquation (9) se r^duisent a Soil maintenant ^=-xm> ap'-P?'; liquation (9) ne sera plus vraie, mais les Equations (5) et (6) subsisteront et s'^criront Liquation (7) a alors une racine 6gale a /./,.; mais sur Fautre racine nous ne savons rien. Comme les a^^ie sonl determines qu'a un facteur constant pr&s, et que les (S^sont imaginaires conjugates des a^, nous pourrons supposer qu'on les a choisis de telle fagon que (10) A|M2(«<*>, K*>)-M,(oE5f>, ^>) = U = ±!. Un cas particulier qui a dte Irait6 a fond par Lord Kelvin est celtii 011 les 244 L^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. coefficients do HI sont tres grands par rapport u ceux de H0 cl do H2. 11 y a rencontre de=> resultats analogues a ceux que nous venons de irouvcr dans le cas general et il serait iiit^ressant dc les deduire des resullats generaux. Si H! est ires grand. >. ne poura etre que tres grand ou ires petit. Supposons /. tres grand; nous pourrons done dans nos Equations negliger M0. Les equa- tions ( 5 ) et ( 6) s'ecrivent alors o. Am jVIa — 2 i Mi = o, (,*t Ton en dt5duit, si A/- n'est pas egal a — /.m. C'e^t 1'equation de Lord Kelvin (cf. Tail et Thomson, Philosophie natu- relle, 3e ed.? n° 34oXT). On s'en rendra compte aisement. Les deux auleurs anglais ont choisi des variables particulieres, de telle sorte que Liquation precedente s'ecrit alors X* — Etude des equations a second membre . Revenons mainlenani aux equations a second membre d dE dXL _ dt dq'a dqa - ^a' Elles signifient que Faction doit etre minimum, c'est-a-dire quo (n) ' J * (3H Soit On pourra satisfaire aux equations en posant L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. el l'£quaiion ('i i ) devra etre satisfaite si, donnant aux qtt el aux Q« ces valeurs, on fait et cela quels que soient ra et ort. Nous ferons en particulier '(a = 0, Ofl = x<*J el liquation (n) deviendra (12) A«MS(*«, *£>)-i-aftMi(«<r, «£>) + M0(«a, Des Equations (12) on pourra tirer les art, et 1'on tirerait de mteie les p« des Equations fitudions les Equations (12); on voit qu'on peut en tirer les aa et que ces quantitds seront lin^aires et homog&nes par rapport aux rn et rationnelles par rapport a >.. Consid^rons-les comme fonctions de >. : i° Je vois d'abord que les <Xa s'annuleront pour X = co; 2° Les valeurs de / pour lesquelles les art deviendront infinis seront celles pour lesquelles on pourra satisfaire aux n Equations M0(a^ ««*)) = o sans que les aa s'annulent En annulant le determinant des equations (i3) on arrivera a une Equation de degr6 2 n en X ; les valeurs cherchges sont done au nombre de 2 n . Or on satisfait a ces Equations en faisant Les 2 /i infinis des fonciions <xa sont done II reste a chercher les rgsidus correspondants. Posons done a^ P«g j TK? il s'agit de determiner p et les ya. J6 L'EQUILIBRE ET LES MOUvEMENTS DES MERS. Nous avons pour cela les equations suivantes : . '\ [X*iMa(agS a^-HaiXMilaSS «£) -i- M0(«2S a*) | A - Anl •+- [A-M2r,'a, a*)-i- 2/XMi(v«, a£) -f- MO(T«S *£)! ou en faisant tendre >. vers J.m et tenant compte de la relation (6), Mais on a, quels que soient les y,,, *3iMs(7fl> *'") — a* A"« ^i(Y«> ««)-«" M0(Tfl^ ^«z) == °> ou bien encore, en changeant Am en — /.,„ et a™ en |3JJ', U5) A^MsCva, 3«l)-H2«XmMi(Y«3 .SgOH-MoCTa, PS*) = o. Parmi les Equations (i4)? nous distinguerons celle qui correspond a 1 . _ 1 «/• __ Qm - A A- — — • ATTJJ «xff — f>a , elle se r£duit a (16) c'est de celle-la qu'on d<5duira p. Mais a cause de (10) cela peut s'6crire Nous tirons de la ou en posant P? = — B»» 2 raaff = D<3veloppons oca suivant les puissances croissantes de X sous la forme il viendra (18) L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Posons maintenant on trouve immgdiatemant ( 4. } J = J J' = — J' J' = J" J> Q Nous pourrons ecrire les formulos (18) sous la forme ,' Bma/;i avec cette convention quc le signe ^ no porte pas romme 7 sur n termes, mais sur zn termes partag^s en deux series; pour la premiere s<5rie, m vario de i a ?imj el Ton passe d'un terme de la premiere serle au terme corespondant de la seconde en changeant lm en — >.m, a^et \m en $™ et Bm r^ciproquemeni. II vient alors On a, d'autre part, >4M2(a2S £g)^2iXmMi(aSS £X)-hM0(«SS s'^) = o; d'ou (19) ^-i,v^2«JW/-hJ/H-i,v=°- On trouvei^ait de ni6me (19 *«) JJ^-i — 2zJ^ + J^+1 = o. On trouvera une autre relation de la fa^on suivante ; il vient La somme ^ contient4^" termes, chacun des 2/2 termes de e^""1 (expres- sions 1 8 6w) devant toe combing avec chacun des zn termes de e^"1. De m&me, Consid^rons la somme 2^8 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. En verlu do 1'equalion (9), ions les termes do cette somme (qui sonl an nombre de 4/i2) disparaitront, a 1'exception de ceux (au nombrc de an) qui sont tols quo A* = ->.„, «i=P?, BA=Am. II vient done, on tenant compte do ( 10), on enfin (puisque les termes sont <3gaux deux a deux au signe pr&s), (2o) J^.?-^J^=(_i)?+1^2A^U? si /? + ^ est pair ct (20 6w) JJ-i,7-i + J/>,<7 ^ °» si/; + y est impair. L'expression J^-i/y-i-f- J/?,? ne depend done que de p -\- q et de la parit(3 de q; elle change de signe sans changer de valeur absolue, quand q augmente d'une unitt2 et que/> diminue d'une unit^. On a done la relation *p-ltq-*-3p+l,(r-*-3*p, -1 + J/M-H — °? que Ton pourrait d'ailleurs obtenir en ajoutant ( 19) et ( 19 bis). En faisant dans cette relation q =PI on trouve 2 J de sorte qu'on retrouve liquation (20 6 De ( 19) et ( 19 Ji"^) on dgduit encore Toutes ces relations montrent que les fonctions J^^ ne sont pas ind^pen- dantes les unes des autres ; considgrons Pensemble des fonctions J telles que P + q^zn* des fonctions J' telles que p + q^^,n — i et des fonctions 3" telles que/> -j- q^an — 2 ; le nombre total de ces fonctions, qui sont distinctes en tenant compte des relations (A), est de 27z2-h (n + i)3. Le nombre des relations distinctes de la forme (19) est n(%n — i); il reste done seulement n- + 3n + 1 fonctions distinctes, L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 249 XL — Gas de 1'eqTiilibre stable. Jc vais me restreindre maintenant au cas cm Ho ct — H0 sont deux formes quadra tiques d^finies positives, de sorte que Fequilibre reste stable, m£me si supprime les forces centrifuges composees C'est <5videmment le cas de la nature, dans le probleme qui nous occupe. Alors, d'apr&s ce que nous avons plus haul, tous les lm sont r^els. Mais ce n'est pas tout; si *;« et ofl sont imaginaires conjiign^s, on a Ms(-;a,8,,)>o, Mo(r«, *«)«>• II vient done ce qui montre que tons les nombres que nous avons appel£s IA- et Im, et qui dans le cas general peuvent 6tre egaux a -4- i on a — r , sont dans le cas qui nous occupe lous ggaux a -f- i . Toutes les formules qui precedent se trouvent ainsi notablement simplifies. II en r^sulte une serie d'in^galit^s sur lesquelles il me reste a appeler Pattention. Supposons en particulier que ra soit r^el; c'est-a-dire que rrt = 5rt, puisque ra et sa sont imaginaires conjuguds. Les quantit^s a™, fi™ sont imaginaires conjugu£es; de m^me quo ra: sa et que •A-wi, -Dm- II en r^sulte que epa est r^el si p est pair et purement imaginaire si p est impair, On a done, sip est pair, sg»o, et au contraire, sip est impair, o, Mo(fS, eg, «S) > o, c'est-&-dire que o, Jj»,/»< o ( pour p pair), JJ,»< o, J^,P> o (pour y impair). II est clair d'ailleurs qu'on aura dans tous les cas H. P. — VIII. 3s i, l/EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Cola post*, reprenons Tequation (ao') qui sVcrit maintenant (puisque Im= i) (20) Si nous faisons g=p, ilvienl ) *f> Am Commo Am cl Bm sont imaginaires conjugu^s, le second mcmbre est positif, cFou 1'on tiro j;_Ij/,_t-h JyD,/?<o (sip est pair;, JJ-i.^-L-f- V^>o (si/? est impair). Ces inogalitcs sont d'aillotirs dos cons(5quonces imm^diaies des in^galit^s (21). Je poserai pour abregor Cette valeur de Rp nous montre alors d'autres proprigteSs du nombre Kp qui font ressortir son analogic avec les integrates J2/? envisagt^es dans la premiere partie. On trouve en eflet ^fl-t-i ^ KyQ-H2 de sortc que le rapport ^^ va constamment en croissant; sa limite pour &p p infini est en g^n^ral <^gale a la plus grande des valeurs do — - A/« Si Ton a done Af<Al<...<>4 la limite de ce rapport sera ^ : Ai A moins que A4 (et par consequent, Bt) ne soienl nuls, auquel cas cette limite serait ^gale a ^ ; A moins que non seulement At et B1: niais encore A2 et B2 ne soient nuls, auquel cas la limite serait ~; ^a Et ainsi de suite. Cela pos^: reprenons liquation L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS D£S MERS. 201 qui doit etre satisfaite par le developpement On on deduira M0(fii,a*)=-2iMi(fiJ, a*), Mo(sS,aJi)=-2£Ml(eiJ «J)- Les Equations (o^) nous donneront 3/j quantites /oo\ -0 -t s-2 \22) *<n •=•<*? s<r On pourra done former Jn i" i i 00? J I 1 j •* 1 1 ? J 22 et, par consequent, le rapport _ _ J o o -*- J 1 1 K i Los quantites (a3) sont des fonctions liiieaires des /A quantites /v«; K2 et KI sont done deux formes quadratiques definies positives par rapport aux ra. Les A/f sont des fonctions lin^aires des /*„, mais a coefficients imaginaires; les B/c sont des formes imaginaires conjugu^es des A./{. Les r(t sont au nombre de n comme les A/t. et les B/e; mais nous avons suppose^ les rw r^els, tandis que les Ajt et les B^ sont imaginairos. Si done nous donnons aux rn des valeurs reelles quelconques, nous ne pou- vons pas choisir ces valeurs de facon a donnv3r aux A^ des valeurs imaginaires arbitraires j il doit done y avoir n relations lineaires entre les n quantites A/£ et les n quantites B/t-; ou, si Ton aime mieux, entre les parties r6elles et imagi- naires des A/,, (ces relations expriment d'ailleurs que la somme des r^sidus des fonctions afl qui sont n fonctions rationnelles de/; quecette somme, dis-je, est nulle). En revanche, les produits A^B^-, qui sont au nombre de «, sont re*els el positifs ; on peut done choisir les ra de fagon qu'ils aient des valeurs reelles et positives, arbitraires en ce sens qu'elles ne sont assujetties a aucune ^galit<5, mais devant satisfaire a certaines inegalites. Cela ne me suffit pas encore pour mon objet ; mais nous pouvons dej£ en tirer certaines consequences. 2 L^QUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. On a, on of IV* I. co qui nous monlre quo le rapport ~ est toujours compris eiitre r-2- ct ^r ; nous avons done deja des in£galit£s auxquelles doivent satisfaire AL et ?.rt. Les monies considerations nous donneraient egalemeiit des inegalites auxquelles devraient satisfaire les autres /.w. An paragraphe V nous avons inontre que, pour le mouvement absolu, la determination des >.M so ramene a. Fetude des variations du rapport -de deux formes quadratiques ; ici T.etude d'un rapport analogue ne nous donne plus les ?.m, mais des limites superieures on inferieures de ces quantites. Mais on pent aller plus loin; n'assujettissons plus les rn a 6tre r<5els, mais posons les pa ct les ya etant reels. Soient alors s£ et i^: ce que devient sj quand on y remplace rn par pa ct par ea ; il viendra evidemmenL aa=(e'flft-i-XeaH-...)-H rA(£'^-X£^4-..O et, par consequent, £i- 6j?H- •# -h. . ., ce qui montre que zka est encore reel si A' est pair et purement imaginaire si k est impair. Je remarque que aa est encore une fonction rationnelle de X et que cette fonction conserve sa propriety essentielle, a savoir qu'elle ne change pas quand on change a la fois / en — i et }. en — >k. Ses infinis son t toujours ± lni] si alors j'appelle X^A^a™ le residu relatif a >.,«, et — X^BmPi11 1° r^sidn relatif a — A/a, il sera facile de voir : i° Que Am el B//z sont les mdmes pour Lous les aa et ne dependent pas de 1'indice a; 2° Que Am et Bm sont iraaginaires conjugu<5s» On n*a plus : L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 253 imas Zjg«"(Ffl — * Eoorovswc clie,kies formulos ( 18) el loutes celles qui s'en deduiseiit restent VT.W -s,doHcsoi:rlC(|uio Ton a encore sf 22) doivenl etre remplacees par les suivautcs : M0(si, a*)=-a/Ml(5S, *i)- Mo(£i, «S)=-2iM1(£i. 3J)-Ma(8S, 4). ra deli les 3/i quanliles (2%) sous la forme dc fonctions lineaires des a elides i S7|. Douoc R2 ct KI seronl des formes quadratiques d^finies positives }[*7aisl»i Iespoa el les <7a sont au nombre de 2^; on pourra done les clioisir de Lolle fcoosontj jueles Am puissent prendre des valeurs imaginaires arbitraires et ope I h A A$8i»=|jAm| prennent des valeurs r^elles et positives completement AlDflB=sr7S«fiera les minimum du rapport ~ j et — - en sera le maximum. Posons A A| rjr K} A| * suite les 0 pour que le rapport soil aussi petit quo possible, jij)* et les or* donnas. Le rapport depend encore des p^ et des orjef tsoianE£iaxim~um nouveau sera — * En somme, nous relrouvons tons les A,; rtsul lids a.sdii pangrapho V. A.^nlJit(llalJler|> 111S ^oiu^ obbcnoua que Ic& deux formes H2 el H0 jouenl un irolc emlflalfljiunejloiutc notre analyse subsisterait si nous changions H2 en — H0, Bleen - loo^li en - L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS. XII. — Problems du vase tournant. un vase qui contieni un liquidc pesaiit, mais qui et»L assez petil, pour qne la pesanlcur puisse elre regardee comme conslantc en grandeur et eu direction. Ce vase esl anime d'une vitesse de rotation. uniform e Q autour d'uii axe parallele a Faxe des s. La surface librc du liquide en equilibre ii'est plus alors un plan horizonlaL mais un paraboloide de revolution. Toutefois, nous supposerons quefi est assez petit pour quo Fonpuisse n«5gli- ger £22 qui outre en facteur dans la force centrifuge ordinaire, sans pouvoir nugliger ^ qui enire en facteur dans la force centrifuge composee. A cetle condition, nous pourrons regarder la surface libre comme un plan horizontal. Du reste, si 1'on avail a tenir compte de i£2? il n?y aurail a faire subir aux resultats quo quelques modifications tres simples. II s'agit d'etudicr les petites oscillations du liquide dans ce vase. Pour eels, nous allons voir comment les principes du paragraphe VIII peuvent s'appliquer au mouvemcnl relatif d'un srsteme par rapport a des axes mobiles. Soit un syst&me forme5 de n points materials La masse du point mt sera mi ; ses coordonnees par rapport aux axes mobiles seront #*» yiy *i dans T^tat d'equilibre, el */-*-E*i }'i+-'rih ^/-f-!i dans F^tat de mouvement. Si les axes mobiles sont auiines d;une vitesse de rotation Q autour de Faxe des ^, les projections de la vitesse absolue du point mi sur les trois axes mobiles seronl f-^.>--v, t-^^), § of la force \ ive absolue du sy&teme sera L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 255 Le premier lerme represenle la force \ive relative, le second el le IroiMeme represented, au facleur pres £2, le moment de rotation dans le mouvcinenl relatif; le dernier ternie. qui contient en facteur Q-, es>t negligeablo. La vitesse angulaire & joue le role de qh. el Ton n, en iiogligeanl dans T le termo en &2, di d'oft D'apres unc remarque faite au paragraphe \ 111, noiiis pomons .supprimer dans H les Lermcs du premier degre par rapport aux qa qui sont represents ici par le second lerme de Fexpression (2), de sorle qu'il resle d'ou „ Hs= o = — U. Pour passer au probleme du liquide, ou le nombre des molecules est infini, il suffit de remplacer les sommes par des int^grales et il vienl Les integrations sont etendues a tous les Elements de volume dt du liquide. Quant a la valeur de H0= — ti, nous 1'ayons oblenue au paragraphe VI; nous avons Irouve Pint^gration 6tant ^tendue a tous les £l€ments rfw de la surface libre. Les fonc- tions 5» v> C sonl assujetties a deux conditions : 256 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DBS MERS. i° On doit avoir I'equation de contiiiuiie 2° Sur la paroi du vase, 011 doit avoir (5) /?H-m'<iH-r^ = o, /, m, n etant les cosinus direcleurs de la surface de la paroi. On peul supposer, eii outre, que les diverges molecules du fluidc soul sou- mises a. des forces exterieures ct que le travail virtue! de ces forces pour des displacements virtuels 3*, ovj, o£ des molecules est repr<3sente par I'intggralo /^^( qui correspond ainsi a la somme quo nous appelions dans les paragraphs precedents II faut done que Ton ait, en vertu du principe de Hamilton, C ' TsH -H /"^(Xo? H- Y5T, H- Z S?)l = o? en supposant que 64, OTJ, 6^ sont nuls pour t = f0, t = lt et que £, •/?, ? sont assujettis aux equations (4) et (5). On petit e*crire ceci sous une autre forme, en introduisaiit deux fonctions arbitraires fy et 0, - T n = o. La troisieme integrate est (Hendue a tous les elements dd de la surface de la paroi dont les cosinus directeurs sont Z, m, TI. Cetlc Equation (6) est evidemment vraie, quelles que soient les fonctions d/ i»l 0 si £, yj et £ sont assujelties aux conditions (4) et (5), el, en vertu des prin- cipes du calcul des variations, elle sera encore vraie, pour un choix convenable de & et de 0, sans que £, •/?, % soient assujetties a aucune condition. L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 267 On arrive ainsi aux Equations du mouvement qu'on aurait pu obtenir direc- tement et qui s'dcrivent (7) a Finterieur du vase ; a la surface libre. Je prends le signe — devant ^'^ dans la demiere de ces equations, pnrce que je consid&re Faxe des z positifs, comme dirig6 vers le has. Ges Equations, jointes a (4)eta(5)j definironl les quatre functions £, TQ, ?, f|. Supposons, en particulier, que ces quatre fonctions soient proportionnelles a efXS nos Equations deviendront (7 W — X2? -f- ajQXrj -i- — i. = X, — \z't\ — 2 rfiXJ -+- -T-£ = Y, a Fint6rieur du vase ; a la surface libre. XIII. — Developpement en serie. L' Elimination de ^ entre les equations (7 bis) nuus conduit aux equations suivantes : (7 ter) ^/rfn ^\ ._ ^5 f/Y dL — X2 V — -r I — 2 1 QA -=?• = -5-5 \dz dj'J dz dz ay H. P. — VIII. 33 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS a 1'interieur du vase; a la surface libre. La troisieme equation (8) cst unc consequence immediate do (4) el de (5). Supposons mainlenant quo Ton ait el que XQ <af^7 -+• i>(jit une diflerentielle exacle. Developpons ;, rt: t suivanl les puissances croissantes de A, do telle sorte que l?on ait, par exemple, les equations (7 ter) et (8) nous doiinent, en egalant les coefficients des puissances semblables de A : Premier groupe. (7*) a Finterieur du vase ; (4 «) a rint<5rieur du vase ; (<-.«) pour la paroi ; -5— -7 as a *.«•_:«! as ay -dx ^ __ 1 dx dy dz y c» rfw = < pour la surface libre. L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMINTS DES MERS. Deuaieme groicpe. J^ ^7.. ~/y (7*) az «s ay et deux equations qu'on en d6duit par sjmetrio ; (46) fl^$i-,$i=0, dx dy dz ' Jidb-o, Troisierne groupe (n > o). ot deux equations qu'oii en deduit par sjmolrie, //^x <^?/j-t-i t ^«-i-l O^n-hl (40) — j -- \ -- -5 -- 1 — - — —o. ^ ' dx dy dz ' (5 C) /?n-M-H fftTfln^.t-4-ft^jsr: O, / Vojons comment ces trois groupes d'equalions vont nous permellre de deter- miner par recurrence toutes nos inconnues : i° Les Equations (7 a) dtftermiueiit ^ a une fonction inconnue pres de x el de y\ les Equations (8 a) ach^vent ensuite la determination de ^0. Ces deux Equations (8 a) sont compatibles, parce que X, <te -f- T, dy cst pour ^ = o une diiF^rentielle exacle. 2<50 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 2° Pour acliever la determination de £0 et YJO, nous devons nous servir des equations (4«) et (5 a). Ces Equations nous font connaitre ate dy puisque £„ est enticement determine. D'autre part, ;0 et *j0 sont definis a deux fonctions arbitraires pres de x et de Y] c'est-a-dire que Ton a i'0 et r/, etanl enlieremonl connus. pendant quo ^ et yjff0 ne dependent quo de x el de/. Les equations (4 a] et (5 a) peuvent alors s'ecrire (ga) + 5=:?, / 9 et 0 etant deux fonctions connues de x et de /. Ces equations ne sont pas toujours compatibles. Soit, en effet, s=zh(as,y) Fequation de la paroi du vase. Les cosimis directeurs I, m, n sont propor- tionnels a dh dh ^ &' ~J> de borte que la seconde equation (9 a) peut s'ecrire dh Soit alors F(A) une fonction de h qui s'annule pour h = o,* on aura r^^r^oF(A) rfnSF(A)1_ J dxdy\— -fa- •+• — 3jr- J- °> FinttJgration e"tant etendue a toute la surface du vase, puisque sur le bord du vase F(A) s'annule. Gela peut s'ecrire, en tenant compte des equations (9 a}, (10 a) r^^[F(A)?-hF'(A)0] = o. II faut done jque Xi5 Yt, ZA satisfassent a certaines conditions que je n'ecrirai pas. Supposons la condition (io«) satisfaite; je dis qu'elle sera suffisante pour que Ton puisse determiner £J et r^, de fa^on ^L satisfaire aux Equations L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. ?6l Nous pouvons, en effet, toujours tromor deux fonctions 2J ot r^ qui satis- fassent a la premiere des equations (yen Gela peul se faire d'une infinite de manieres: on pout, par exemple, prenihv On aura ensuite d» ^tant une fonction ausiliaire. La seconde equation (ga]\ montre onsuite que fi doit satisfaire a une Equa- tion de la forme , . N M dh dh M f» (9 a bis) -y- -3 --- — — t -a o*, w y <:/a; <^r C/J7 «V 0* etant une fonction connue de x et de Y. En vortu de (10 a), on aura (10 a bis) Prenons alors un sjsteme particulier de coordonnees qui coinprondra la variable h el une variable $ qui \ariera de o a 27: quand on fera le tour de 1'une des courbes fermees h == const. Soil J le jacobien ou determinant fonctionncl de x et de y par rapport a s et a //. Les equations (gabis} et (l deviendront (9 (10 a «er ) JT **(**>) J 6* L'equation (10 « Jfer) ayant lieu, quel que soit F'(A), nous pourrons ^cri r*fl (loaquater) I J 8*^ = 0. 0 Liquation (pa ter) xious donne /* J8* ds -H fonction arbitraire de /i. „ 262 L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. Mais, pour que cette fraction soit uniforine, il faut et il suffit que Or celte condition cst romplie on vertu de 1'equation (10 « quater). 3° La fonction ^ n'est encore dt5termin^e qu'a une fonction arbitraire pr&s de A que j'appellerai /(A); si cette fonction /(A) <5tait connue, les Equa- tions (7 &) et (8 b) determineraient £* complement et 41 et •/?£ a des foiictions arbitraires pres de x et de^r. II est aise de vcrifior quo lt?s equations (8 6) sonL loujours compatibles. 4° II faudrait ensuite achever la determination de gi et fli ^ 1'aide de (4^) et (5 ft) ; pour cela posons Si- Si -*-?n nL»Vi-4--nn t^ et rjj ^tant onti^rement co-nnues, tandis que E" <jl yj* nc dependent que dc x et de y. Nous arriverons a des Equations de mdme forme que (9^) qui s'^criront ou ot et 64 sont deux fonctions conuues. Pour que ces Equations soient compa- tibles, on devra avoir (10 6) /"flterfK[F(A)tpi-hP/(/Ofli]:=o- 5° J'ai dit que f4, —? -^-j cpt et 61 <5iaient des fonctions connues, mats en supposant que la fonction / '(A) 50^ connue elle-m&me. Je vais maintenant me servir de liquation (10 6) pour achever la d^termina- tionde/(A). Nous connaissons compl^tement ?OJ ^ , ^; il en r<5sulte que ^ et ^ sont aussi enticement connus; au contraire, •— n'est pas parce que — ne Test pas. est d&ermind au terme pr&s _/(A)~=_^J^ et n0 au terme *** II en r^sulte que j± sera d^termin^ au terme pr&s L'EQUILIBRE ET LES MOUVEMENTS DES MERS. 263 La valeur de £1 pour z = o iioins est donnee par les equation^ (,86); mais comme £0 et YJO ne sont pas entitlement determines, ces equation* nous montrenl que ~~ et -^ sont de'termine's a des icrnios piv* t»n •2/Q ^ dx ' et, par